MATHADORE
         Volume 4 Numéro 137 - 14 décembre 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                 Votre sixième défi : La monnaie

1. Vous disposez d’une balance à plateaux très précise. On vous remet 9 pièces de monnaie d’apparence identique. Si une pièce fausse s’est glissée dans le lot, elle est plus lourde ou plus légère que les vraies pièces. En seulement 3 pesées, vous devez trouver :

a) Si toutes les pièces sont vraies.
b) Si une pièce est fausse, laquelle est-ce et si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies pièces..

2. Pour les mordus

Cette fois, une pièce fausse s’est glissée parmi un ensemble de 12 pièces. En 3 pesées, trouvez la pièce fausse et précisez si elle est plus légère ou plus lourde.
 

                       Solution au problème du pertuisanier

Rappelons d’abord l’énigme.

Le dernier jour d’un mois de la Première Guerre mondiale, des soldats découvrirent, en creusant une tranchée, la tombe d’un soldat français mort jadis au cours d’une guerre étrangère. Il y avait à ses côtés une pertuisane, sorte de hallebarde.

En multipliant le nombre des jours du mois de la découverte par la longueur, en pieds, de la pertuisane, par le nombre d’années écoulées depuis le décès du soldat jusqu’à la découverte de la tombe, et enfin par l’âge du capitaine du pertuisanier, on obtient un produit de 1 886 276.

1. À quel date et en quelle année fut découverte la tombe ?
2. Quelle était la longueur de la pertuisane ?
3. Au cours de quelle bataille le pertuisanier fut-il tué et en quelle année eut-elle lieu ?
4. Le nom et l’âge du capitaine du pertuisanier ?

Solution :

Il faut donc trouver les facteurs premiers du nombre 1 886 276.

On trouve que 1 886 276 = 2 x 2 x 7 x 23 x 29 x 101.

Parmi ces facteurs, 29 représente le nombre de jours du mois de la découverte, donc en février d’une année bissextile entre 1914 et 1918, années de la Première Guerre  mondiale.

La découverte a été réalisée le 29 février 1916.

Le Larousse nous apprend que la pertuisane était utilisée du XVe au XVIIIe siècle, donc entre 1400 et 1700.

Le nombre 101 ne peut être que facteur du nombre qui représente le nombre d’années écoulées entre le décès du pertuisanier et l’année 1916.

Ce nombre est compris entre 516 ( 1916-1400 ) et 216 ( 1916-1700 ). Il est donc 404 et résulte du produit de 2 x 2 x 101.

La bataille a donc eu lieu en 1512 ( 1916 – 404 ).  La pertuisane mesurait 7 pieds et le capitaine avait 23 ans.

De quelle bataille s’agit-il ? En 1512, Louis XII est roi de France et son capitaine, Gaston de Foix, est tué durant la bataille qu’il livre à Ravennes. Il avait 23 ans.
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Le problème des billes, celui du pertuisanier, l’énigme des lettres de l’alphabet et d’autres problèmes qui vous ont été proposés et qui vous seront proposés par Mathadore montrent que la résolution de problèmes exige des compétences fort différentes d’un problème à un autre. Il semble qu’il soit possible de distinguer les types de problèmes suivants :

- Problèmes strictement logiques où il suffit d’utiliser les données en les combinant 
   entre elles. Ces problèmes nécessitent un certain degré de développement cognitif, 
   un bon raisonnement et, souvent, une grande concentration plutôt que certaines 
   connaissances.

- Problèmes analogiques où il faut établir un lien original ou non entre ce qui est 
  demandé et un concept acquis, le tout demandant une capacité à déborder le cadre 
  des données du problème, une capacité à penser de façon autonome.

- Problèmes strictement techniques où un calcul (ou une mesure) est clairement 
  demandé.

- Problèmes de communication où il faut transmettre ou interpréter une solution, une 
   formule, un graphe, …

Peut-être qu’il est utopique de vouloir créer des échelons de compétence en résolution de problèmes en général. Il faudrait probablement distinguer d’abord les types de problèmes et ensuite tenter de créer des échelons de compétence pour chaque type de problèmes. Car, enfin, comment peut-on situer dans une même échelle des problèmes logiques qui ne demandent que le respect de consignes précises et des problèmes analogiques où la créativité est sollicitée ?

Nous y reviendrons.

Robert Lyons