MATHADORE
         Volume 4 Numéro 136 - 7 décembre 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           Diviser par des nombres à deux chiffres
 

Dans Mathadore 134, nous avons décrit des activités qui permettent de relier l’algorithme symbolique de la division à diverses représentations concrètes. Cette fois, nous allons montrer comment les mêmes liens peuvent être établis en divisant par des nombres à deux chiffres.

Demandez aux élèves de prendre le nombre 276 avec leur matériel de base dix en utilisant la représentation la plus simple, celle qui comprend donc le moins d’objets.

Au tableau dessinez un rectangle ouvert comme le suivant :

Mentionnez aux élèves que cette fois le rectangle doit avoir une largeur de 12 unités. Au besoin, pour certains élèves, tracez un rectangle ouvert dont la largeur est de 12 cm. Voici la solution la plus probable.

Écrivez :  

Faites observer que, dans le dessin comme dans la construction concrète, deux modèles de dallages sont répétés. Il y a d’abord :

qui a été fabriqué deux fois, ce qui donnait une longueur de 20 unités ou de 2 dizaines et qui a nécessité l’utilisation de 2 plaques et 4 rectangles ou de 240 unités.

Poursuivez donc la notation symbolique en la justifiant : nous avions 276 unités et nous en avons placé 240, il en reste 36 à placer.
   
Nous avons déjà un dallage de 20 unités ou de 2 D de longueur.

Note : La lettre D placée au-dessus du 2 évitera éventuellement des erreurs de valeur de position. 

Par la suite, il y a eu le modèle :
   

que nous avons utilisé trois fois afin de terminer notre dallage. Notons cela :

     
Donc, nous avons utilisé les 36 unités qu’il restait, il ne reste plus rien 36 – 36 = 0.
Ces 36 unités nous ont permis de prolonger notre dallage de 3 unités. Le dallage entier mesure donc 23 unités de longueur d’où 276 ÷ 12 = 23.

Vous pouvez interpréter la représentation concrète réalisée comme représentant diverses divisions dont :

a) 2,76 ÷ 1,2 = 2,3 ;
b) 27,6 ÷ 12 = 2,3 ;
c) 276 ÷ 0,12 = 2300 ;

et même (2x2 + 7x + 6) ÷ (x + 2) = 2 x + 3. Pour les divisions (a), (b) et (c), il suffit de procéder tel que décrit pour 276 ÷12 sans inscrire « D » et « U » au-dessus de 12. Par la suite, il faut laisser tomber la partie décimale de chaque nombre et se demander à quoi devrait ressembler la réponse de (a) 2 ÷ 1 ( 2 donc 2,3 ) ; 
(b) 27 ÷ 12 ( 2 donc 2,3 ) ; (c) 276 ÷ ??  Dans ce dernier cas, on prendra 276 ÷ 0,1 ou 2760 ÷ 1  ( 2000 donc 2300 ).

Les divisions qui nécessitent des transformations d’unités se représentent elles aussi de la même façon et l’algorithme symbolique calque parfaitement la représentation concrète.

Robert Lyons