MATHADORE
         Volume 4 Numéro 130 - 26 octobre 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

Perpétuel recommencement = incertitude continuelle

Il semble que les auteurs de programmes scolaires aient de la difficulté à prendre leurs distances par rapport aux programmes du passé. On comprend facilement qu’il y a trois ou quatre siècles, alors que la société avait besoin d’un minimum de gens instruits, l’essentiel de l’effort des écoles se soit porté, en mathématiques, sur l’enseignement des entiers naturels et des opérations sur ces entiers.

On comprend aussi qu’avec le temps il soit d’abord devenu nécessaire d’ajouter l’enseignement des fractions, des nombres décimaux et du pourcentage.  Avec l’introduction des sciences, il était normal ensuite d’ajouter l’enseignement des relatifs et de l’algèbre. 

En regardant ces divers ajouts, on se rend compte qu’ils étaient accompagnés d’une augmentation des années de scolarité. Règle générale, chaque ajout de nouveaux éléments au programme s’est fait de sorte que cet ajout soit étudié à la suite de ce qui était déjà en place. C’est un peu comme si, sur une maison d’un étage, et prévue pour demeurer ainsi, on avait successivement ajouté de nouveaux étages et ce, sans modifier l’entrée électrique et l’entrée d’eau.

Avec le recul que nous avons maintenant, il est facile de voir que cette progression n’est pas la meilleure. En guise d’exemple, considérons les additions suivantes :

 * 3 + 2 = 5

 * 3 dizaines + 2 dizaines = 5 dizaines

 * 3 cinquièmes + 2 cinquièmes  = 5 cinquièmes

 * 3x + 2x = 5x

 * 3x2y + 2x2y = 5x2y 

 * (-3) + (-2) = (-5)

Les programmes scolaires ont espacé de telles additions de plusieurs mois et années. Il en résulte que les élèves n’établissent que peu de liens entre ces additions et, lorsque de nouveaux types de nombres leur sont présentés ( fractions, relatifs,…), ils repartent presque à zéro.

Pensez à tous ces élèves qui paniquent en algèbre, pensez à tous ces adultes convaincus qu’ils n’y ont jamais rien compris. Et pourtant, quelle différence y a-t-il entre 3 + __ = 5 et 3 + x = 5 et entre 3 dizaines + 2 dizaines = 5 dizaines et 
3x + 2x = 5x ? 

Le fait de ne pas établir de liens entre les divers types de nombres conduit l’élève à considérer que les algorithmes utilisés pour additionner des entiers sont différents de ceux utilisés avec les fractions ou avec les nombres algébriques. Et, en ce qui concerne les algorithmes, il se trouve plongé dans un perpétuel recommencement.

Cette perception est accentuée par le sens qu’il accorde aux opérations. Les analogies utilisées pour lui apprendre la division, par exemple, se transforment avec les années de la façon suivante :

1. Avec les nombres naturels ( 1, 2, 3,…) :

a) Diviser c’est partager : 6 $ ÷ 2 = 3 $ ;
b) Diviser c’est mesurer : 6 $ ÷ 2 $  = 3 ;
c) Diviser c’est soustraire à répétition. ( Ce qui est en fait équivalent à mesurer. )

2. Avec les fractions :

Diviser c’est mesurer : 6 $ ÷ ½ $ = 12.

Et pour 6 $ ÷ ½ = 12 $ ? Ce n’est ni un partage ni une mesure ! En fait, de telles divisions ont été soigneusement évitées dans les volumes. Malheureusement, le sens de partage est celui qui prédomine lorsqu’on pense à la division et, pour 6 $ ÷ ½ = 12 $, l’incompréhension s’installe.

3. Avec les entiers relatifs :

Quel sens accorder à 12 $ ÷ (-2) = -6 $ ou à 12 $ ÷ (-2 $) = -6 ? Ni partage, ni mesure. Cul-de-sac !

4. En algèbre :

ab ÷ a = b .  Partage ? Mesure ? Ce n’est pas évident !

En regardant cette « évolution », nous constatons une perte de sens, c’est-à-dire que plus l’élève étudie, moins il peut accorder de sens à ce qu’il apprend. En fait, lorsqu’il aborde la division de fractions ou la division d’entiers relatifs, il tente d’interpréter en vain ces nouvelles divisions en pensant au partage. Ne réussissant pas, il lui reste à mémoriser sans comprendre l’utilité de ses nouveaux apprentissages. 

Il n’y a aucun doute qu’il faut modifier en profondeur la séquence d’enseignement des mathématiques. Il faut éviter que l’élève associe trop étroitement, voire même exclusivement, un concept à quelques-unes de ses applications, lesquelles ne sont  pas généralisables et sont souvent nuisibles par la suite.

Que faire ?  Nous y reviendrons dans Mathadore 132.

Robert Lyons