MATHADORE
         Volume 4 Numéro 127 - 5 octobre 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

    Un premier défi : l’aire du trapèze.
 

Vous vous souvenez sans doute que, pour trouver l’aire du trapèze, on peut utiliser la formule suivante :
                                                 
                            
 

Cette formule signifie qu’il faut faire la somme des deux bases ( B + b ), multiplier cette somme par la hauteur ( h ) et diviser le tout par 2. Certes, on peut accompagner l’exécution de ces calculs par le terme « ABRACADABRA », mais ce n’est pas nécessaire puisque cette formule n’a rien de magique.

Votre premier défi consistera à trouver au moins cinq façons permettant de découvrir cette formule ou de la démontrer. Certaines sont fort simples alors que d’autres demandent quelques prouesses.

En tentant de découvrir plusieurs méthodes réellement différentes les unes des autres, vous verrez que le point de départ en résolution de problèmes n’est pas la logique, mais la créativité, l’imagination. Einstein, je crois, a dit que la créativité consistait à voir ce que tout le monde voit, tout en pensant autrement.

Prenez un cercle de rayon r,  la longueur de sa circonférence s’exprime par  2 ¶ r, comment peut-on s’y prendre afin de calculer l’aire de ce cercle ? 

                                

Rêvons ! Il est facile de trouver l’aire d’un rectangle ou d’un triangle alors découpons ce cercle en triangles.

                                        
Il est clair que l’aire du cercle est égale à la somme des aires de chacun de ces triangles. Mais, ce ne sont pas de vrais triangles puisqu’un côté est courbe. Rêvons !

Continuons de la sorte en traçant de plus en plus de triangles,  jusqu’à ce que le côté courbe de chacun d’entre eux soit réduit à un point ou presque.

C’est bien joli, mais combien ferons-nous de triangles ? Et que faire avec des triangles tellement minces que leur aire sera pratiquement nulle ?

Rêvons ! Découpons chaque triangle le long de ses côtés qui sont des rayons du cercle et plaçons-les côte à côte.

                               
Nous savons que la base totale de tous ces triangles correspond à la circonférence
 du cercle : 2 ¶ r . Nous savons que la hauteur de ces triangles est égale au rayon du cercle : r. En effet, ces triangles sont tellement étroits que leurs côtés et leur hauteur se confondent. Pour trouver l’aire d’un triangle, il suffit de multiplier la longueur de sa base par la hauteur de ce triangle et de diviser le tout par deux ( sans oublier  «ABRACADABRA »).

Si nous avons deux triangles de même auteur, leur aire totale est égale à la somme de leurs bases multipliée par leur hauteur, le tout étant divisé par deux.

Revenons au cercle. Le découpage réalisé plus haut nous montre un ensemble de triangles de hauteur r et dont la base totale est 2 ¶ r . L’aire totale de ces triangles est donc la base totale (  2 ¶ r  ) multipliée par la hauteur commune ( r ), le tout étant ensuite divisé par deux. Donc : et ABRA… non, ce n’est pas nécessaire !

À votre tour de rêver au trapèze et de découvrir au moins cinq façons différentes de trouver ou de démontrer la formule permettant de calculer l’aire de tout trapèze de bases B et b et de hauteur h.

( Note : Vous devrez considérer que les côtés non-parallèles ont des longueurs différentes. )

Robert Lyons