MATHADORE
         Volume 3 Numéro 97 - 27octobre 2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

            Quand Troublefête calcule 
 

Alors que Caboche lance des idées démontrant qu’il comprend le contexte général d’un problème, Troublefête se charge du raisonnement qui doit suivre en essayant de structurer et de valider les idées de Caboche.

La semaine dernière, Caboche a proposé de soustraire de gauche à droite plutôt que de droite à gauche. C’est une idée intéressante autant pour l’addition que pour la soustraction. En addition, il n’y a aucun problème à effectuer, par exemple, 
305 + 243 de gauche à droite. En soustraction, 648 – 235 ne présente aucune difficulté. C’est d’ailleurs ce que remarquent plusieurs élèves pendant les nombreuses semaines où nous leur demandons d’additionner sans que la retenue ne soit nécessaire, puis de soustraire sans emprunt. Ils voient bien que, de droite à gauche ou de gauche à droite, les réponses sont les mêmes et que le degré de difficulté est identique. Mais, comme nous insistons pour qu’ils calculent de droite à gauche, plusieurs en tirent comme conclusion qu’il est préférable de s’exécuter sans poser trop de questions.

Revenons à Troublefête. Il est clair que des additions telle 358 + 467 et des soustractions telle 602-145 présentent des difficultés. Nous savons comment les résoudre en calculant de droite à gauche.  Comment  Troublefête  peut-il  s’en  tirer  en  calculant  en sens inverse ? Essayons avec 358 + 467.
3 centaines + 4 centaines  = 7 centaines, posons donc 7 sous les centaines.

                   3  5  8
                + 4  6  7
                    7

5 d. + 6 d. = 11 d., posons 11 d. et 8 u. + 7 u. = 15 u., posons 15 u. D’où :
 

                     3  5  8
                  + 4  6  7
                     7 11 15

Il reste donc à transformer 11 d. en 1 c. + 1 d. et à ajouter 1 c. à 7 c. D’où :

                  7 11 15
devient       8  1  15
et ensuite     8  2   5

Un peu long ? D’accord ! Laissons Troublefête s’ajuster :

3 c. + 4 c. = 7 c, mais comme 5 d. + 6 d. > 9 d. alors une retenue sera nécessaire sur les centaines il faut donc effectuer 3 c. + 4c. + 1 c. = 8 c. et poser immédiatement :

                       3  5  8
                    + 4  6  7
                       8

Ensuite, 5 d. + 6d. = 11 d., mais comme 8 u. + 7u. > 9u. ( Inutile de calculer la somme 8 u. + 7 u. pour le moment puisqu’il est évident qu’il y aura une retenue.) donc nous calculons 5 d. + 6 d. + 1 d. = 12 d. et noterons :

                        3  5  8
                     + 4  6  7
                        8  2

Il suffit maintenant d’effectuer 8 u. + 7 u. = 15 u. pour compléter :

                         3  5  8
                      + 4  6  7
                         8  2  5

Et maintenant, passons à 602 – 145. 6 c. – 1 c. = 5 c., donc notons 5 sous les centaines.

                         6  0  2
                      - 1  4  5
                         5  

Dans les dizaines, nous avons 0 d. – 4 d. Il nous faut donc emprunter 10 d. aux 5 c. Soulignons le 5 pour rappeler cet emprunt. Donc 10 d. – 4 d. = 6 d. et continuons avec 12 u. – 5 u. = 7 u. D’où :

                        6  0  2
                      - 1  4  5
                         5  6  7

Il suffit ensuite de soustraire 1 centaine et 1 dizaine pour obtenir :

                        5  6  7
                        4  5  7

Certes, il est facile d’anticiper l’emprunt et d’en tenir compte rapidement. Ainsi, après avoir effectué 6 c. – 1 c. = 5 c., il suffit d’observer qu’aux dizaines le chiffre de 602 est plus petit que celui  de  145  pour  comprendre  qu’un  emprunt  sera  nécessaire. Donc,  nous pouvons effectuer 6 c. – 1 c. – 1 c. = 4 c. et noter immédiatement :

                         6  0  2
                      - 1  4  5
                        4

Aux dizaines nous ferons donc 10 d. – 4 d. – 1 d. = 5 d. Puis aux unités : 
12 u. – 5 u. = 7 u. 
D’où :             6  0  2
                    - 1  4  5
                       4  5  7

Difficile ? Pas vraiment. Essayez avec vos élèves et vous verrez que ces techniques d’addition et de soustraction vont leur plaire.

J’oubliais,   une  addition  telle  348 + 154  vous  réserve  une surprise   qui  n’apparaît  pas   pour 348 + 151. En soustraction 536 – 138 réserve aussi une surprise absente si nous devons résoudre 536 – 134. Troublefête règlerait rapidement ces difficultés. 
Et vous ?
 

Robert Lyons

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