MATHADORE
         Volume 3 Numéro 96 - 20 octobre 2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

             Quand Caboche calcule. 

Il est facile de trouver des élèves qui ne maîtrisent pas les combinaisons de base en addition. Si vous leur demandez de compléter 7 + 7 = …, ça va. Même chose avec 
8 + 8 = … Mais lorsqu’on leur demande 7 + 8 = …, ils hésitent et concluent souvent : « Celui-là je ne m’en souviens pas. » Voilà un bel exemple qui montre que les tables de base de l’addition ont été apprises trop tôt, qu’elles  ont  été  apprises  par  cœur  sans  compréhension  solide.  En  effet,  l’élève  qui sait que 7 + 7 = 14 devrait, devant 7 + 8 = … , penser que 7 + 8 = 7 + 7 + 1 donc que 7 + 8 = 15.

Ayant eu la possibilité d’étudier de nombreuses difficultés d’apprentissage, une conclusion s’est rapidement imposée : règle générale, la séquence d’apprentissages est trop longue, il faudrait l’accélérer. Mais il existe deux exceptions à cette règle : l’apprentissage des tables pour les quatre opérations de base est fait trop tôt et il en est de même pour le développement de la maîtrise d’une seule technique de calcul pour chaque opération. Cela a tendance à robotiser le calcul et non à le rendre créatif et intelligent.

La créativité, c’est le domaine de Caboche. Alors, comment Caboche peut-il être créatif devant une addition telle 489 + 524 ou une soustraction telle 5000 – 2638 ?

Pour 489 + 524, Caboche peut proposer ( avec lui on ne sait jamais ce qu’il imaginera… ) effectuer plutôt 490 + 523 qui est beaucoup plus simple. Caboche désire toujours trouver de nombreuses possibilités alors, il pourrait suggérer remplacer 489 par 500 et enlever à 524 ce qui a été ajouté à 489 pour obtenir 500 . Évidemment, si Caboche  ne pense pas à remplacer  7 + 8 par 7 + 7 + 1, oubliez les substitutions au moment d’effectuer des additions sur des nombres plus grands.

Une soustraction telle 5000 – 2638 cause de nombreux maux de tête à Troublefête et à D3D4, notre robot efficace mais… automatisé. Caboche pourrait proposer de changer 5000 – 2638 en 4999 – 2637 ou en 4999 - 2638 + 1, ce qui permettrait de faire disparaître les emprunts. Caboche pourrait aussi proposer d’effectuer 5000 – 2638 en partant de la gauche. Évidemment Caboche pourrait aussi suggérer de remplacer 2638 par 3000, en ajoutant à 5000 la différence entre 2638 et 3000. Décidément ce Caboche…

Une fillette de sept ans, une vraie Caboche, nous a proposé :

                                              5  0  0   0
                                            -2  6  3    8     
                                             3 –6 –3 –8 

Pour calculer ensuite mentalement que 3000 – 600 = 2400, que 2400 – 30 = 2370 et enfin que 2370 – 8 = 2362.

                                  EXERCICE PRATIQUE

Si vous travaillez avec les élèves de 6 ou 7 ans, proposez-leur des additions simples telles 7 + 8,  5 + 9, 6 + 5,… et demandez-leur de les transformer en additions équivalentes.

Proposez la même activité avec les soustractions de base.

Ensuite, invitez les élèves à remplacer des additions ou des soustractions par des opérations équivalentes où ils peuvent utiliser chaque fois l’addition et la soustraction. Ainsi, 6 + 9 peut devenir 6 + 10 – 1, 14 – 8 peut-être remplacé par 14 – 10 + 2 ou par 14 – 4 – 4.

Si vous travaillez avec des élèves de huit ans et plus, proposez-leur des additions et des soustractions telles 349 + 625 ou 701 – 426 et demandez-leur d’imaginer de nouvelles façons d’effectuer ces calculs. Contentez-vous de noter les propositions, il ne s’agit actuellement ni de les structurer, ni de les valider. Les élèves devront donc mentionner rapidement leurs idées sans effectuer les calculs. Nous sommes en «phase Caboche», il n’est pas encore temps de faire intervenir Troublefête. En ce qui vous concerne, si vous connaissez d’autres techniques, attendez que les élèves aient proposé les leurs avant de les présenter sans les justifier. 

Il est très probable que les techniques proposées le soient par quelques élèves seulement, mais cela n’a pas vraiment d’importance. Ce qui importe ici, c’est que les élèves constatent qu’il existe plusieurs façons d’effectuer un calcul donné, certaines étant plus simples que d’autres, et aussi que ces façons peuvent être inventées par des élèves de leur âge, ce qui est très stimulant.

Enfin, certaines techniques proposées ne seront pas valables ou ne seront pas généralisables, mais Caboche lance des idées. L’étape suivante consistera à demander à Troublefête de valider toutes ces idées. Dans ce but, Troublefête dispose d’un outil merveilleux… mais nous y reviendrons la semaine prochaine. Pour l’instant, place à Caboche, place à l’imagination, place aux idées. La seule mauvaise réponse consiste à ne pas avoir de réponse.
 

Robert Lyons