MATHADORE
         Volume 3 Numéro 125 - 8 juin 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                Accélérez que diable !

Nous en sommes au numéro 125 de Mathadore. Quel est le message le plus important, le seul s’il le faut, qui, nous l’espérons, sera retenu de ces parutions ?

Pour le comprendre, laissez-moi vous raconter une partie de ma journée de vendredi dernier. C’est avec un plaisir toujours renouvelé que j’ai eu l’occasion d’enseigner à cinq classes de première ou de deuxième année du primaire. Pour chacune, les enseignantes m’avaient demandé de travailler sur des sujets précis du programme de mathématiques.

Dans une classe de première, il fallait proposer un bon problème aux élèves. Disposant de trente à quarante minutes, j’ai décidé de leur soumettre une énigme logique. La voici :

-Suzie, Mireille, Joanne et Claudine pratiquent chacune un seul sport. Aucune d’entre elles ne pratique le même sport qu’une autre. Trouvez quel est le sport pratiqué par chacune d’entre elles si :

1. Suzie ne joue ni au hockey ni au soccer.
2. Mireille et celle qui joue au hockey sont voisines.
3. Joanne et Mireille ne jouent ni au baseball, ni au tennis.
4. Claudine ne connaît personne qui joue au baseball ou au hockey.

L’énigme a été présentée de façon imagée et a été résolue collectivement en moins de dix minutes. 
Le document suivant donne une bonne idée de ce qui a été présenté aux élèves  ../documents/Suzie.pdf .

Dix minutes ! Lorsque vous espérez occuper les élèves pendant au moins trente minutes, il ne faut pas en rester là. Après avoir dit aux élèves que, visiblement, ils étaient très forts, je les ai défiés de résoudre un problème plus difficile. Le voici : Avec vos centicubes, essayez de construire le plancher de ma salle de bains. Il vous faudra exactement quinze cubes que vous disposerez en rectangle. Attention, c’est le plancher d’une salle de bains, pas celui d’un corridor.

Les élèves ont construit sans difficulté un plancher de trois rangées de cinq cubes.

Très bien, mais comme il s’agit du plancher d’une salle de bains, il faudrait y placer un bain. Ce bain est, lui aussi, de forme rectangulaire et il couvre exactement huit tuiles. Voici ce que les élèves ont obtenu : 


Nous : Est-ce que le bain recouvre toute la largeur de la salle de bains ?

Élèves : Non, seulement deux des trois rangées.

Nous : (Après avoir noté 2/3 ) Est-ce que le bain recouvre toute la longueur du plancher ?

Élèves : Non, seulement quatre des cinq tuiles.

Nous : (Après avoir noté 4/5 ) Est-ce que le bain recouvre toutes les tuiles ?

Élèves : Non, seulement huit des quinze tuiles du plancher.

L’égalité suivante a alors été complétée et justifiée : les numérateurs représentent le bain 
( 2 X 4 = 8 ) et les dénominateurs représentent le plancher ( 3 X 5 = 15).

Bon, encore dix minutes de passées.

Maintenant, voici une façon de décrire mon autre salle de bains : 


Les élèves ont rapidement compris ce que représentaient les nombres 4 et 16. Aucun n’a paniqué devant le symbole désignant la racine carrée. En fait, il semble bien que seuls les adolescents et les adultes ont peur de ce symbole…

Nous : Il faut que je vous dise que cette drôle de lettre nous avertit que le plancher de la salle de bains est un carré et que le plancher de la douche, car c’est une douche cette fois, est aussi carré.

Les élèves ont construit un carré formé de 16 cubes sur lequel ils en ont placé un autre de 4 cubes. Ils ont ensuite mentionné que la douche n’occupait que deux des quatre rangées de la salle de bains.

Vingt-cinq minutes de passées.

Nous : C’était encore trop facile, alors voici un problème qui est proposé au secondaire :

                                      ­3x + 5x =

            L’équipe des - (moins) a obtenu 3 objets quelconques, que nous appellerons des x, donc - 3x.
            L’équipe des + (plus) a obtenu 5x. Quelle est l’équipe qui a obtenu le plus de x et combien a-t-elle obtenu de x de plus que l’autre équipe ? 

Élèves : C’est l’équipe des +. Elle a obtenu 2x de plus que l’autre équipe.

D’où  - 3x + 5x = + 2x

Nous : Et qu’arrivera-t-il pour :    + 2x - 3x - 2x = ?

Élèves : L’équipe des -  a obtenu  3x de plus que l’autre équipe.

D’où  + 2x - 3x - 2x = - 3x . 

Un élève a même ajouté : «  C’était facile car + 2x et - 2x s’annulent et il reste - 3x .»

Trente-cinq minutes de passées, mais là, je suis pris au jeu.

Nous : Vous êtes très forts, mais, cette fois-ci, je vais vous attraper : 
   -3x + 4x +2x - 3x =

Élèves : C’est égal !

Nous : Oh non ! Là, vous ne l’avez pas.

Élèves : C’est égal, chaque équipe a 6x.

Nous : Eh non ! L’équipe des -  a gagné… 
           Oh ! Oh ! Je voulais écrire - 3x - 4x -2x + 3x = 
           Vous voyez bien que l’équipe des - a gagné.

Élèves : Oui, mais là…

Un autre problème a été donné avec, « malheureusement » quelques erreurs. 

Nous : Je vous donne une dernière chance : + 2x - 3x - 4x +5x =

Une élève : Vérifie si tu ne t’es pas trompé.

Nous : D’accord. Vous savez, les mathématiciens font souvent des erreurs et, à cause de cela, ils ont inventé une façon de vérifier. Il suffit de placer entre parenthèses ce que chaque équipe a obtenu (+2x). Puis, s’il n’y a pas d’erreur, on place un + devant la parenthèse +(+2x). Mais si nous nous sommes trompés d’équipe, alors, nous avertissons en plaçant un - devant la parenthèse - (+3). Bon, je vérifie ce que j’ai déjà écrit. Je vous avertis de mes erreurs : +(+ 2x) +( - 3x ) -(- 4x) -( +5x ) =

Les élèves ont alors demandé de modifier cette expression pour + 2x -3x +4x-5x = 
La réponse a été calculée facilement.

Cinquante-cinq minutes ! Excusez-moi, le temps a passé si vite.

Moins d’une heure pour résoudre tous ces problèmes dans une classe d’élèves de six ou sept ans. Ne croyez pas que ce fut trop rapide, que rien n’a été approfondi. Donnez d’autres énigmes semblables à ces élèves, demandez-leur de construire deux ou trois autres planchers supportant un meuble et, surtout, écrivez des expressions mathématiques semblables aux précédentes avec ou sans parenthèses et vous verrez que, ce que ces élèves ont construit par eux-mêmes à partir de données à leur portée, sera appliqué facilement.

Faire confiance aux élèves et ne pas hésiter à aborder des concepts vus normalement plus tard, utiliser une présentation des données qui tient compte de leur culture et de leur âge, le tout sous la forme de problèmes ou de défis et non au moyen d’explications et d’exercices répétitifs, voilà le message le plus important que Mathadore a voulu vous apporter à ce jour.

Et voici exactement le message opposé, le message qui conduit à surprotéger les élèves, à leur présenter des concepts tellement morcelés que la compréhension est évacuée, que les élèves sont sans cesse piégés car, ce qu’on leur enseigne maintenant risque d’être contredit quelques années plus tard.

… je tiens à vous rappeler deux éléments importants (…). Le contenu du programme d’études (…) doit être intégralement respecté, c’est-à-dire couvrir chacun des éléments et ne pas déborder sur le contenu prévu pour un autre cycle.
                Roger Vézina, directeur de la Direction des ressources didactiques,
                ministère de l’éducation du Québec, le 3 juillet 2001.

C’est ainsi que nous avons appris. C’est toujours en faisant les mêmes erreurs didactiques que ce fonctionnaire du MEQ exige que nous enseignions à nos élèves.
Si nous acceptons cette position, nous devrons enseigner et laisser croire à nos élèves que :

- diviser c’est partager, mesurer ou soustraire à répétition ;
- multiplier c’est additionner à répétition ;
- les exposants représentent des multiplications répétées.

C’est ainsi que « sans déborder sur le contenu prévu pour un autre cycle », nous développerons chez nos élèves des concepts partiellement vrais et, comme nos élèves les utiliseront avec succès pendant plusieurs années, cela les conduira à croire que ces concepts sont toujours valables. Lorsque se présenteront des domaines où ces concepts ne seront plus applicables, les élèves seront surpris, perdront confiance et, ne comprenant plus, se contenteront de mémoriser.

N’est-ce pas ce qui s’est passé pour nous lorsque nous avons été confrontés à des égalités telles :

1$ ÷½ = 2$              Et vive le partage !

½ X ½ = ¼              Addition répétée ?

(-3) X (-4) = + 12    Moins 4 paquets de moins 3 éléments ?

7° = 1                      7 multiplié par lui-même zéro fois ?

et   5¯² = 0,04         5 multiplié par lui-même moins deux fois ?

Je m’en voudrais de ne pas revenir sur le sujet abordé dans Mathadore 116 où il a été question d’un élève du primaire qui a menacé de se suicider s’il était obligé de reprendre son année scolaire.

Je suis allé dans sa classe. J’y ai trouvé un petit gars qui, même s’il connaissait la réponse au problème que je posais à toute la classe, ne levait pas la main. Lorsque je l’ai interrogé il a répondu « Je ne sais pas. » J’ai insisté et il a répondu correctement. Je lui ai dit que la prochaine fois que je ne savais pas quelque chose, j’aimerais que ce soit comme lui. Il a souri. Par la suite, il a levé la main et répondu correctement à quelques questions.

Il n’y a aucun doute que cet élève vit un stress important. Il n’y a aucun doute que ce stress trouve son origine ailleurs qu’à l’école. La meilleure enseignante, et la sienne est excellente à mon avis, ne peut contrer à elle seule les pressions externes que vit un élève tel celui-là. Au mieux, il nous est possible de faire vivre davantage de succès à tous nos élèves. En mathématiques, c’est possible. ( Voir  vol3num124.html )

Bonnes vacances !

Robert Lyons