MATHADORE
         Volume 3 Numéro 118 - 20 avril 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

            Gaffes au premier cycle.

En moins de trois années, après l’apparition du nouveau programme du Québec, sont apparus les volumes supposés concrétiser ce nouveau programme. L’étude de ces volumes nous montre une absence générale de validation. Certes, diverses activités ont été utilisées en classe, mais nous ne pouvons parler de validation réelle.

Il faut savoir que la valeur d’une activité ne peut être mesurée par ses effets immédiats. Rien de plus facile que de faire en sorte que des élèves de six, de dix ou de treize ans apprennent un nouveau concept en quelques minutes, mais ce qui importe est l’effet de cet apprentissage à long terme.

Or, il existe une formule peu connue qui permet d’identifier approximativement l’origine des difficultés d’apprentissage chez un élève. Il faut diviser par deux le nombre d’années scolaires réussies. Ainsi, une difficulté apparaissant en secondaire 3, soit à la neuvième année de scolarité, a souvent ses origines dans un apprentissage vu en quatrième ou cinquième année du primaire.

Par exemple, en secondaire 3, les élèves tentent de comprendre la valeur des exposants négatifs où 5¯² = 0,04. Ces élèves, ayant appris en cinquième année que les exposants représentent une multiplication répétée, n’y comprennent plus rien. Comment en effet multiplier un nombre, tel 5, par lui-même «moins deux fois» et obtenir 0,04 ?

En conséquence, une activité d’apprentissage vécue par des élèves de première année (6 ans) ne peut être considérée validée que si elle ne conduit à aucune difficulté d’apprentissage en deuxième année (7 ans). De la même façon, une activité offerte aux élèves des deuxième année sera réellement validée lorsque ces élèves auront terminé leur quatrième année.

À cause de ce qui précède, sachant que presque tous les auteurs des nouveaux manuels scolaires ont dû, en principe, repenser leur enseignement en fonction du nouveau programme, ce n’est que dans environ deux années que nous pourrons mesurer la valeur des activités de leurs manuels destinés au premier cycle.

Par ailleurs, plusieurs auteurs, inexpérimentés en enseignement constructiviste, ont tout simplement reconduit les modèles de l’enseignement traditionnel. Pour cette raison, il est déjà possible d’identifier diverses gaffes solidement installées dans leurs manuels.

Ainsi, en première année, pour que les élèves comprennent vraiment la numération positionnelle, il existe un préalable incontournable : la capacité à considérer un même objet ou symbole sous deux aspects différents à la fois. Prenez le nombre 35. Pour plusieurs élèves, il existe un mur étanche entre le 3 et le 5, entre les dizaines et les unités. Pour eux, il y a 3 dizaines et 5 unités dans 35, rien d’autre. Ils ne voient pas que 35 représente aussi 2 dizaines et 15 unités.

Ces élèves réussiront sans peine à identifier les nombres représentés par 4 bâtonnets (dizaines) placés à gauche et 6 cubes (unités) placés à droite. En multipliant les exercices semblables, on installe et renforce cette idée selon laquelle il y a d’une part les dizaines et, d’autre part, les unités. Quelques élèves tireront aussi la conclusion que les symboles doivent être placés de la même façon que le matériel. Malheureusement pour eux, ce n’est que lorsque des illustrations inversant les positions du matériel leur seront présentées qu’ils pourront nous montrer leur incompréhension. 

La difficulté la plus répandue, qui découle de la stratégie décrite plus haut, apparaîtra en deuxième année, donc un an plus tard, lorsque les élèves devront effectuer une soustraction telle 52 – 38. Traitant séparément les unités et les dizaines, ils ne sauront que faire de 2 – 8. Certains feront 8 – 2 = 6 et obtiendront 52 – 38 = 26. D’autres penseront que c’est impossible et écriront 52 – 38 = 20.

En consultant les nouveaux manuels, il est évident que rares sont les auteurs qui se sont assurés, avant d’aborder la numération positionnelle, que les élèves réussissaient à considérer un objet sous deux aspects à la fois. C’est pourtant facile ! Montrez aux élèves une reproduction où figurent, par exemple, 3 lions et 2 ours. Demandez-leur s’il y a plus de lions ou plus d’animaux. S’ils vous disent qu’il y a 3 lions et 2 animaux, en montrant alors les 2 ours, ils ne considèrent pas que les lions sont à la fois des lions et des animaux. Dans ce cas, comment croire qu’ils sont prêts à aborder l’apprentissage de nombres tel 25 où ils devront comprendre que le 2 représente à la fois des dizaines et des unités ?

L’apprentissage de la numération est habituellement celui qui est le plus malmené dans les manuels scolaires. Et pourtant, en première et en deuxième année, il s'agit du «savoir essentiel» le plus important en mathématiques. Continuons donc notre analyse.

Normalement, les manuels présentent d’abord les nombres de 0 à 9, afin de permettre aux élèves de se familiariser avec les dix chiffres grâce auxquels ils pourront explorer l’arithmétique. Par la suite, les élèves sont souvent, et malheureusement, exposés aux nombres de 0 à 39 environ. 

Le problème lié à cette étape est qu’elle ne permet pas aux élèves de comprendre la raison d’être du groupement. En effet, nous groupons pour mettre de l’ordre afin de faciliter le dénombrement de quantités importantes. Or, en observant les adultes et les enfants, ce besoin de mettre de l’ordre intervient lorsqu’il y a au moins 30 à 40 objets. S’il y en a moins que cela, il est plus rapide de recommencer le dénombrement que de grouper d’abord en paquets.

Donc, l’élève est amené à symboliser les nombres de 0 à 39 environ, sans avoir ressenti le besoin de grouper. S’il ne ressent pas ce besoin, il ne peut construire lui-même l’apprentissage du groupement en dizaines et encore moins sa représentation symbolique. Parler alors d’un enseignement constructiviste est de la pure supercherie.

Un autre problème qui commence à se préparer avec une telle séquence est le fait que l’élève lie trop étroitement le nom d’un nombre à sa représentation symbolique. Ainsi, sauf pour les nombres 11 à 16, il observera que, pour écrire un nombre, il suffit d’écouter son nom : dix-huit, c’est 1 avec 8 (18); vingt-trois, c’est 2 avec 3 (23); trente-cinq, c’est 3 avec 5 (35),… Lorsque, dans un manuel, l’étape suivante consiste à étudier la tranche des nombres de 40 à 69, le truc mentionné plus haut est consolidé. L’élève se prépare, lentement mais sûrement, après avoir symbolisé soixante-sept par un 6 et un 7, à écrire 612 pour soixante-douze ( 6 et 12 ) et 420 pour quatre-vingts ( 4 et 20 ).

Pourtant, déjà en 1985, dans un avis au Ministre de l’éducation, le Conseil supérieur de l’éducation qualifiait, très diplomatiquement, ce type de séquence de «maladresse» (L’enseignement des mathématiques à l’école primaire, juillet 1985, page 12). Quinze années plus tard, rien n’a changé à ce sujet dans plusieurs manuels, ce qui n’empêche évidemment pas ces manuels d’être approuvés.

La séquence à utiliser en numération est pourtant facile à suivre et à comprendre :

1. Description de petites quantités au moyen de nombres à un chiffre seulement, quitte à représenter un nombre tel 16 par 8 + 8, par 5 + 5 + 6, …, ce que comprend l’élève de six ans.
2. Proposer aux élèves des activités visant à les rendre opératoires, c’est-à-dire des activités dans lesquelles ils devront considérer un même objet sous deux aspects différents à la fois.
3. Proposer aux élèves de dénombrer des quantités plus grandes que 50. Le besoin de mettre de l’ordre se fera sentir à cause des erreurs régulières lors de tels dénombrements d’objets épars.
4. Le groupement étant ensuite perçu comme un moyen efficace en vue de dénombrer correctement de grandes quantités, demander aux élèves de décrire ces quantités en précisant le nombre de dizaines et le nombre d’unités ou l’inverse. On comprend que l’élève qui peut compter dix unités peut aussi facilement dénombrer huit ou neuf dizaines, et qu’en conséquence, il n’y a pas lieu de travailler par tranches jusqu’à 39, puis 69, … 
À cette étape, les élèves représentent donc des quantités pouvant même excéder 99. En effet, ils sont sûrement capables de trouver que tel ensemble compte 12 dizaines et 7 unités.
5. Représenter les nombres excédant 9 grâce à la numération positionnelle : 58 représentant  5 dizaines + 8 unités tout comme 8 unités + 5 dizaines.
6. Association de la numération orale à la numération écrite : l’élève lit et écrit les nombres au moins jusqu’à 99. L’étape précédente a permis à l’élève de visualiser la structure de la numération positionnelle, l’introduction des noms de nombres pour désigner les nombres à deux chiffres ne modifiera que rarement sa compréhension de l’écriture des nombres.

En guise de conclusion, il est regrettable que plusieurs manuels scolaires contournent les difficultés d’apprentissage en offrant aux élèves des activités présentées de telle façon que les chances d’erreurs à court terme sont réduites au maximum. Cette stratégie leurre les élèves, les enseignants et les parents qui croient que tout va bien. Et puis un jour, la difficulté évitée apparaît avec force et tout le monde est surpris.

L’enseignement constructiviste demande que l’élève soit placé devant des problèmes réels et bien sentis. Diriger les élèves entre les obstacles possibles constitue de la surprotection. Cette stratégie rend l’élève dépendant du manuel et de l’enseignant, elle ne développe nullement sa capacité à résoudre lui-même des problèmes. À moyen et à long terme, elle dirige directement les élèves vers les divers services d’adaptation scolaire. Malheureusement, certains enseignants œuvrant dans ces services croient bien faire en augmentant le degré de surprotection. L’élève perd ainsi sa dernière chance de s’en sortir. 

Robert Lyons