MATHADORE
         Volume 3 Numéro 112 - 9 mars 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

          Phénomènes additifs et multiplicatifs

Lorsque nous pensons à l’addition ou à la multiplication, nous pensons presque toujours à du calcul. Pourtant, la fonction additive et la fonction multiplicative s’appliquent d’abord à des phénomènes qui ne se réduisent pas à un simple calcul.

Prenons deux éléments quelconques qui peuvent être associés afin de construire une nouvelle réalité. Il y a de fortes chances pour que le type de liens qui existe entre ces deux éléments soit un lien additif ou un lien multiplicatif. Nous avons déjà évoqué 
( Mathadore 106 ) que deux expressions telles « C’est faux que » et « Il est impoli » peuvent être combinées afin d’obtenir « C’est faux qu’il est impoli », ce qui  est synonyme de l’expression « C’est vrai qu’il est poli ». Il s’agit d’expressions qui peuvent être illustrées en mathématiques par « – x –  = + » pour la première et  
« + x + = + »  pour la seconde.

Dans les exemples précédents, le lien est multiplicatif car les éléments liés sont de natures différentes. Il faudra un graphe à deux dimensions pour illustrer le fait que les éléments sont de natures différentes.


 

Les possibilités « Vrai » et « Faux » sont de même nature et figurent sur un même axe. Il en va de même pour les possibilités « Poli » et « Impoli ».

Nous savons que 2 + 2 = 4 et aussi que 2 x 2 = 4. Si nous avons 2 * 2 = 4, quelle opération ce mystérieux * peut-il représenter ? Nous ne pouvons pas le savoir si nous ne considérons que les nombres. La raison en est simple, nous ne savons pas quelle(s) unité(s) de quantification, telles l’heure, le mètre, le dollar, etc. accompagne(nt) ces nombres.

Cependant, si nous apprenons que l’unité de quantification est constante, qu’elle est la même pour les trois nombres, alors, il s’agit d’une addition. En guise d'exemples :
2 heures + 2 heures = 4 heures ; 2 mètres + 2 mètres = 4 mètres ; 2 $ + 2 $ = 4 $. Toutes ces égalités ont du sens.

Par contre, si nous utilisons ces mêmes unités avec une multiplication, les expressions 2h x 2h = 4h² (des heures carrées ?) et 2 $ x 2 $ = 4$² (des dollars carrés?) n’ont aucun sens, c’est-à-dire qu’aucune unité de quantification ne peut accompagner le nombre 4.

La situation est différente avec 2 mètres x 2 mètres = 4 mètres carrés. Cette expression a du sens.

Bref, la fonction additive, qui inclut l’addition et la soustraction, ne s’applique que si les termes à lier sont de même nature et que si le résultat est lui aussi de même nature. Par contre, s’il est possible de lier des éléments de natures diverses alors c’est la fonction multiplicative, qui inclut la multiplication, la division, la factorisation et l’extraction de racine, qui s’applique. Essayons !

«La pomme, le piment et la cerise.», il s’agit clairement d’une addition: 1 + 1 + 1 = 3. « La pomme, le piment et la cerise rouges. » Cet adjectif que nous venons d’ajouter crée une fonction multiplicative, nous ne pouvons représenter cet ajout par 3 + 1 = 4, il faut plutôt effectuer 3 x 1 = 3. En fait, « rouges » vient se fusionner aux trois éléments déjà en place, il ne s’agit pas simplement d’un ajout. « La pomme, le piment et la cerise rouges ou vertes. » « rouges » et « vertes » sont de même nature, un s’additionne à l’autre. Puis, tous deux se fusionnent avec « La pomme, le piment et la cerise » pour créer une situation multiplicative qui ne peut être illustrée que par un graphe à deux dimensions.

Quelle est la distance parcourue par un cycliste qui circule pendant trois heures à une vitesse moyenne de 20 kilomètres/heure ?

Les unités de quantification sont de natures différentes, les heures d’une part et les kilomètres/heure d’autre part. La fonction multiplicative s’applique donc. Mais s’agit-il d’une multiplication ou d’une division ? En multipliant des heures par des kilomètres/heure, nous obtenons :  . Cette multiplication a du sens.

  des heures carrées divisées par des kilomètres!
ou
     des kilomètres divisés par des heures carrées!

Ces deux dernières combinaisons n’ont aucun sens. Le problème présenté plus haut ne peut donc être résolu que par une multiplication : 20 km/h x 3 h = 60 km.

Prenons un rectangle mesurant 20m sur 10m. L’aire de ce rectangle est obtenue par multiplication : 
20 m x 10 m = 200 m2 et nous n’avons pas une unité de quantification constante.

Par contre, le périmètre peut être obtenu par simple addition : 
20m + 10m + 20m + 10m = 60m, l’unité de quantification, ici le mètre, est constante. Certes, il est possible d’utiliser la multiplication pour trouver ce périmètre. Nous effectuerons une première addition 20m + 10m = 30m et ensuite une multiplication : 
30m x 2 = 60m. Cette fois encore, l’unité de quantification varie, nous avons des mètres ( 30m et 60m ) et le nombre 2 qui n’est accompagné d’aucune unité de quantification.

En électricité, le voltage = la résistance x l’ampérage. Dans cette formule, les unités sont de natures différentes, il s’agit donc d’un lien multiplicatif. Certes, il faut éviter de mentionner aux élèves des trucs tels :
- Si les unités sont constantes, il faut additionner ou soustraire ;
- Si les unités sont différentes, il faut multiplier ou diviser.

Il faut plutôt les habituer à visualiser les données dans un graphe. Ces données se combinent-elles sur un seul axe ( fonction additive ) ou sur au moins deux axes 
( fonction multiplicative ). Lorsque nous demandons aux élèves d’illustrer leurs solutions, les graphes linéaires ou les graphes rectangulaires peuvent constituer d’excellents outils. De tels graphes deviennent des images mentales favorables au transfert et d’excellents outils supportant la compréhension.

Robert Lyons