MATHADORE
         Volume 3 Numéro 11 - 23 février 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                                 Un grand disparu

Avez-vous  déjà  tenté  de  comprendre des  expressions  mathématiques telles : 
1 $ ÷ ½ = 2 $ et 6 $ ÷ (-2) = -3 $ ? Savez-vous pourquoi 5 ÷ 0 est impossible alors que 0 ÷ 0 est indéterminée? Pour clarifier tout cela, nous devrons retourner plusieurs siècles en arrière. Alors, comme il se doit :

Il était une fois… la division

Bien avant de représenter une division sous la forme linéaire, c’est la forme fractionnaire qui était utilisée.  Donc  3 ÷ 4  s’écrivait   ¾  et  aucune  distinction  n’était faite entre  « 3 divisé par 4 » et « 3 quarts ». En effet, 3 ÷ 4 et ¾ représentent exactement le même nombre qui peut être symbolisé de nombreuses façons telles : 0,75, 75%, 6 ÷ 8, 9 ÷ 12, 6/8 ,… Toutes ces représentations symboliques décrivent, entre autres, la partie colorée du cercle qui suit.

                                                    

Même 3 ÷ 4, puisque si vous divisez 3 cercles en 4 parties équivalentes, chacune de ces parties sera équivalente, voire même identique au cercle précédent.

Les trois quarts rouges isolés dans chaque cercle peuvent en effet être assemblés et faire un quatrième cercle qui sera semblable à chacun des ¾ de cercles bleus précédents.

Donc, il y a plusieurs siècles, la forme 3 ÷ 4 n’existait pas, seule la forme ¾ existait. Une division telle  1 $ ÷ ½  ne  pouvait s’écrire que sous la forme   .  Mais comment écrire   1 $ ÷ ½ = 2 $ ?

Et voilà où intervient notre grand disparu, le nombre un ou plus précisément l’expression « ÷ 1 ». La forme complète, sans symboles sous-entendus, de
1 $ ÷ ½ = 2$ est donc 1 $ ÷ ½ = 2 $ ÷ 1 ou, à l’origine : 

Cette égalité est correcte puisque 1 $ x 1 = 2 $ x ½  par multiplication croisée.

Qu’en est-il de 6 $ ÷ (-2) = -3$ ? La forme complète est donc 6 $ ÷ (-2) = -3 $ ÷ 1 ou  Cette égalité se vérifie par produit croisé : 6 $ x 1 = -3 $ x –2 .

Et maintenant 5 ÷ 0 = ? Nous savons que « ÷ 1 » peut être insérée à droite d’où 
 5 ÷ 0 = x ÷ 1 ou encore  . Nous constatons que 5 x 1 ne peut être égal à 
0 x x, puisque, quelle que soit la valeur de x, 0 x x = 0. La division par 0 est donc impossible, sauf 0 ÷ 0. En effet, comment compléter 0 ÷ 0 = x ÷ 1 ? Ou encore  ? Nous constatons que 0 x x est égal à 0 x 1 quelle que soit la valeur de x . En conséquence, 0 ÷ 0 est indéterminée alors que 0 ÷ 5 est impossible.

Donc, une égalité telle 12 ÷3 = 4 est une forme contractée équivalente à 
12 ÷3 = 4÷1. La suppression de « ÷1» nous empêche de voir le rapprochement entre la division et l’égalité de deux fractions ou de deux divisions. Il y a lieu de commencer par présenter la division sous la forme d’une fraction et de recourir aux fractions équivalentes pour comprendre le résultât de certaines divisions spéciales.

En agissant ainsi, une expression telle 10 ÷ 4 = 2 reste 2 est rapidement perçue comme inadéquate. En effet, puisque 10 ÷ 4 = 5 ÷ 2, si 10 ÷ 4 = 2 reste 2 et si
5 ÷ 2 = 2 reste 1, nous sommes obligés de conclure que 2 reste 2 = 2 reste 1.
 
 

Robert Lyons

Prochaine parution de Mathadore : le 9 mars, après la semaine de relâche. Profitez de cette pause bien méritée.