MATHADORE
         Volume 3 Numéro 109 - 9 février 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques


             Préalables et classement
 

Chaque année, à cette époque, se pose le problème de la préparation des examens de fin d’année, des examens de classement. Ces examens ont pour but d’évaluer si les élèves ont les prétendus préalables essentiels afin de leur permettre d’accéder à une classe supérieure. La tradition date du début du dernier siècle et est peu remise en question. Et pourtant, il est possible que nous ne cherchions pas ce qui importe vraiment.

En fait, qu’est-ce qui est le plus facile, enseigner un concept à un élève qui n’a jamais tenté de l’apprendre ou à un élève qui a déjà développé des connaissances inadéquates à ce sujet ? Prenons l’égalité suivante : 1 $ ÷ ½ = 2 $. Imaginons un élève qui a appris, et qui croit, que la division est un partage et un autre élève qui n’a rien appris au sujet de la division. Lequel sera le plus surpris par cette égalité ? Et comment, l’élève qui a appris que la multiplication est une addition répétée, réagira-t-il devant  ½  X  ½ = ¼ ou devant (-3) x (-4) = 12 ?

Et il y a aussi ces élèves qui ont appris que les exposants expriment une multiplication répétée, que font-ils pour comprendre que 7º = 1 ou que 5¯² = 0,04 ? Est-il possible que cette définition inadéquate les conduisent à ne pas comprendre l’exposant zéro et les exposants négatifs ?

Imaginons que les élèves apprennent d’abord à multiplier des fractions unitaires telles ½ X ¼  ou encore des nombres décimaux tels 0,5 x 0,4. Il est peu probable que ceux-ci associent la multiplication à une addition répétée. Bien au contraire, ils risquent de conclure que le produit de deux nombres est plus petit, et non plus grand, que ces nombres. En effet, ½ X ¼ = 1/8 et 0,5 x 0,4 = 0,2. Évidemment aucun de ces produits ne peut-être trouvé par addition répétée et aucun d’entre eux ne peut être illustré par une série de paquets identiques. Ces produits ne sont pas plus difficiles à calculer que 2 x 4 = 8 et que 5 x 4 = 20. Alors, il n’y a pas de raison de croire qu’il est plus difficile d’apprendre à effectuer ½ X ¼ que 2 x 4.

Comment se fait-il que les élèves qui commencent à apprendre la multiplication de fractions ou la multiplication de nombres relatifs, vers l’âge de douze ans, éprouvent autant de difficultés ? Est-ce possible que cela découle de leurs apprentissages antérieurs qui leur ont permis d’associer la multiplication à une addition répétée ?

L’élève qui a appris que la division est un partage, une contenance ou une soustraction répétée n’est-il  pas préparé à vivre un échec lorsqu’il tentera de résoudre    x ÷ ½ = 2x,  1/3 ÷ ½ = 2/3,  0,08 ÷  0,2 = 0,4 ou (-12) ÷ (-4) = 3 ? Aucune de ces divisions ne peut être associée à un partage, à une mesure ou à une soustraction répétée. Toutes donnent des résultats plus grands que les termes originaux. Apprendre que diviser c’est mesurer, partager ou soustraire à répétition conduit à des difficultés d’apprentissage répandues. Mieux vaudrait que les élèves n’aient jamais assimilé ces connaissances nuisibles.

Bref, ne serait-il pas plus valable, lors d’un test de classement, d’essayer de faire l’inventaire des connaissances qui seront contredites l’année suivante plutôt que l’inventaire des connaissances adéquates ou même l’inventaire de ce que l’élève ignore totalement ?

Bien sûr, il n’y a pas que les connaissances, il y a aussi les perceptions. Pour certains élèves, les mathématiques sont composées d’éléments disparates qu’il faut mémoriser ou assimiler grâce à de nombreux exercices. Pour d’autres, les mathématiques constituent un édifice logique et, un bon raisonnement permet de construire cet édifice en diminuant le recours à la mémorisation et aux exercices répétitifs. Et il y a enfin ces élèves qui considèrent que les mathématiques représentent leur environnement et que la créativité, l’analogie, l’imagination constituent les meilleurs outils pour les assimiler. Toutes ces perceptions existent chez nos élèves, la dernière, la plus puissante, la plus adéquate, est beaucoup moins répandue que chacune des deux autres, mais l’élève qui perçoit ainsi les mathématiques et leur apprentissage est mieux préparé à aborder de nouveaux concepts que les autres qui essaient simplement de mémoriser ou que ceux qui sollicitent surtout leur raisonnement.

N’y a-t-il pas lieu, lors d’un test de classement, de chercher à identifier les perceptions des élèves face aux mathématiques et aux façons de les apprendre ? Plus que les connaissances antérieures bien assimilées, cette perception de la nature des mathématiques permet de prévoir les chances de succès ou d’échec de l’élève.

Enfin, il y a la perception que l’élève a de lui-même face à sa capacité à apprendre les mathématiques. Ai-je la bosse des mathématiques ou suis-je un irrécupérable ?

Il y a plusieurs années, une enseignante m’a demandé de travailler avec ses élèves sur la multiplication de fractions. Avant de commencer, je leur demandai « Si je multiplie deux nombres, leur produit sera-t-il plus petit ou plus grand que les facteurs de cette multiplication ? » La première réponse fut « Plus grand ! » . Puis quelques élèves ont mentionné que le produit pouvait être égal au plus grand des facteurs, exemple 
1 x 5 = 5. Enfin, quelques autres ont signalé que le produit est égal au plus petit des deux nombres dans 
0 x 4 = 0. Je leur ai demandé alors s’il était possible que le produit soit plus petit que les deux nombres à multiplier un « Non ! » unanime et assuré s’en suivit.

Il était temps de leur demander de calculer ½ X ½. Ces élèves, qui avaient déjà effectué des multiplications semblables, en restèrent muets. Ils savaient tous que la réponse était ¼  mais hésitaient à la mentionner. Ils n’en revenaient pas. Ils ne reprochaient rien aux enseignants qui leur avaient appris que la multiplication est une addition répétée et qui leur avaient ainsi permis de conclure que le produit est au moins égal au facteur le plus petit de ce produit. Au contraire, ils se reprochaient leur aveuglement : 
« Nous savons que ½ X ½ = ¼ et nous continuons à prétendre que la multiplication est une addition répétée ! »

C’est à ce moment que la sonnerie de l’école annonça la récréation. Je me souviens très bien de la réaction de ces six fillettes qui m’interdirent de sortir avant de leur avoir permis de comprendre ce qu’est une multiplication.

Lorsque les élèves ont du succès en utilisant des définitions inadéquates, ils ne les remettent pas facilement en question. Plus ces succès durent, moins ils remettront ces connaissances en question. Et ces connaissances constituent de formidables obstacles à certains de leur apprentissages futurs. Identifier ces connaissances inadéquates et placer les élèves dans une situation telle qu’ils constateront le problème peut constituer un point tournant dans l’apprentissage de ces élèves.  Aucun inventaire de connaissances adéquates ne peut aider autant un élève et un enseignant.

Robert Lyons