MATHADORE
         Volume 3 Numéro 106 - 19 janvier 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                       Alternative 

Avoir une alternative, c’est avoir le choix entre deux possibilités. Cette situation est tellement courante qu’en 1489, un mathématicien allemand, du nom de Johannes Widmann  a décidé de doter les mathématiques de deux symboles, un pour chacune des possibilités d’une alternative, les symboles + et –. Ce n’est qu’en 1514 que ces symboles ont été utilisés pour la première fois afin de désigner l’addition et la soustraction, deux opérations opposées d’une même fonction, la fonction additive.

Prenez un aimant, il possède un pôle nord et un pôle sud. En mathématiques, ces pôles seront désignés par + et – . De plus, si nous approchons deux aimants l’un de l’autre, il y aura deux possibilités : attraction ou répulsion. Encore une fois, les symboles + et – pourront servir pour représenter l’attraction ( – ) et la répulsion ( + ). Puisque les pôles agissent l’un sur l’autre, nous sommes en présence d’événements qui relèvent de la fonction multiplicative.

Donc deux pôles identiques se repoussent d’où : + x + = + ou – x – = + et deux pôles opposés s’attirent d’où + x – = – et – x + = – .

En électricité, lorsque deux commutateurs peuvent allumer ( + ) ou éteindre (– ) une ampoule électrique, nous avons encore diverses possibilités. Voici le circuit électrique qui illustre cette situation :


Chacun des deux commutateurs ( C1 et C2 ) possède un levier qui peut prendre deux positions. En fait, les commutateurs permettent de choisir entre deux circuits, c’est-à-dire de brancher l’ampoule et la source de courant sur un même fil, ce qui permet à l’ampoule de s’allumer ( + ) ou sur deux fils différents et l’ampoule reste éteinte (– ). Les fils seront symbolisés par + et – . L’ampoule réagit à la combinaison des deux branchements, donc il s’agit d’une illustration de la fonction multiplicative.

Voici deux roues réunies par une courroie. Chaque roue peut tourner dans le sens horaire ( + ) ou dans le sens anti-horaire (– ). La courroie peut être placée de sorte qu’elle fait tourner la roue 2 dans le même sens ( + ) que la roue 1 ( Figure 1 ) ou qu’elle inverse le sens (– ) de rotation de la seconde roue ( Figure 2 ).

Donc, si la roue 1 tourne dans le sens horaire ( + ) et que la courroie transmet ce sens de rotation ( + ) alors la roue 2 tournera dans le sens horaire ( + ), d’où + x + = +. Si, dans la figure 1, la roue 1 tourne dans le sens anti-horaire (– ), la courroie transmet ce sens de rotation ( + ) et alors la roue 2 tourne elle aussi dans le sens anti-horaire (– ). D’où – x + = – .

La seconde figure illustre les cas où la courroie inverse le sens de rotation de la première roue. Les possibilités deviennent donc :
a) La roue 1 tourne en sens horaire ( + ), la courroie inverse le sens de rotation ( – ), alors la roue 2 tourne en sens anti-horaire ( – ) d’où + x – = – .
b) La roue 1 tourne en sens anti-horaire ( – ), la courroie inverse le sens de rotation 
( – ) , alors la roue 2 tourne en sens horaire ( + ). D’où – x – = + .

Ce rôle de la courroie qui transmet ou confirme le sens de rotation montre encore l’influence d’un élément sur l’autre, de la courroie sur le sens de rotation.

Nous observons le même phénomène en français :
C’est vrai ( + ) qu’il est poli ( + ), donc il est poli ( + ).
C’est vrai ( + ) qu’il est impoli ( – ), donc il est impoli ( – ).
C’est faux ( – ) qu’il est poli ( + ), donc il est impoli ( – ).
C’est faux ( – ) qu’il est impoli ( – ), donc il est poli ( + ).

En arithmétique, si nous multiplions deux nombres, supposons 8 et 5, nous pouvons retrouver cette même loi des signes. Représentons donc 8 sous la forme 10 – 2 et 5 sous la forme 6 – 1. Multiplions ( 10 – 2 ) par ( 6 – 1 ).

                  10   -  2
              x   6    -  1 
       a)       60   -  12                      6 x (10 – 2)
       b)   -  10   +   2                     -1 x (10 – 2)
                60   -  22 + 2 = 40      a + b ou 5 x 8
 

Les mathématiques ont été inventées afin de modéliser notre environnement et nos idées. Si les mathématiques de base comportent peu de symboles afin de désigner des quantités, des relations et des fonctions, c’est simplement parce que ces symboles, ces relations et ces fonctions s’appliquent à un nombre considérable de situations quotidiennes ou non. Alors, la prochaine fois que vous voulez faire comprendre la loi des signes à un élève, laissez-le jouer avec les commutateurs qui permettent d’allumer une ampoule électrique située au-dessus d’un escalier. C’est une activité brillante qui illuminera sa compréhension de la loi des signes et… l’escalier.

Robert Lyons