MATHADORE
         Volume 3 Numéro 104 - 15 décembre 2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

   Avant la numération positionnelle : les fractions. 

Si nous consultons les divers programmes d’enseignement des mathématiques, entre autres idées reçues, il y a celle qui place toujours l’apprentissage de la numération positionnelle avant l’étude des fractions. Peu de didacticiens osent contester cette séquence sauf les véritables experts en didactique que sont les enfants. Certes, ceux-ci ne le crient pas haut et fort, ils se contentent de nous montrer la voie, sans insister. Encore faut-il que nous acceptions de les observer.

Observons donc ces enfants d’âge préscolaire, ont-ils l’occasion de construire la numération positionnelle ? Quand font-ils des groupements dans le but de faciliter et d’accélérer le dénombrement ? Certes, ils font du classement pour retrouver divers objets ou encore pour pratiquer diverses activités. Ils réunissent ainsi des ensembles d’objets. Il arrive même que ces ensembles comportent le même nombre d’éléments, mais ce n’est pas dans le but de les dénombrer. D’ailleurs s’ils doivent compter, ils comptent tous les objets un à un comme si aucun regroupement n’existait. Bref, les enfants d’âge préscolaire n’utilisent pas le groupement pour dénombrer car cela ne correspond à aucun problème qu’ils ont à résoudre.

Et qu’en est-il des fractions ? Est-il possible que des enfants de quatre ans doivent résoudre des problèmes en fractionnant un entier ou un ensemble ? Personne ne peut contester que cela fait partie de leur vie. Parfois, ils partagent un morceau de gâteau ou un ensemble de bonbons. Il est clair alors qu'ils tentent de faire des parts égales. S’ils doivent partager une barre de chocolat en deux, ils réussissent assez bien ce travail. Cependant, s’ils tentent de partager un ensemble d’objets en deux parties égales, ils se font habituellement influencer pas l’espace occupé plutôt que par le nombre d’éléments de l’ensemble. Mais, il est évident qu’ils tentent de partager cet espace en parties équivalentes.

Par ailleurs, lorsqu’un ensemble contient un nombre d’éléments suffisamment grand de sorte que son dénombrement sans erreurs devient difficile, c’est en fractionnant cet ensemble en sous-ensembles égaux que nous réduisons le risque d’erreurs. Le groupement, qui est à la base de la numération positionnelle, est donc un fractionnement particulier qui permet de dénombrer plus efficacement. De plus, il s’agit du fractionnement d’un ensemble, or, à l’école, le fractionnement d’un ensemble est habituellement étudié après le fractionnement d’une unité.

Bref, le besoin de fractionner naît longtemps avant celui de grouper pour fins de dénombrement. En conséquence, les élèves de six ans sont mieux préparés à résoudre des problèmes portant sur les fractions que des problèmes les conduisant à construire la numération positionnelle.

L’activité qui suit peut donc s’adresser à des élèves dès l’âge de six ans même si elle leur demande d’additionner et de soustraire des fractions de dénominateurs différents.

Reprenez donc l’activité présentée dans Mathadore 103. Montrez aux élèves le tableau suivant :
                                  

Mentionnez aux élèves que, cette fois, il ne s’agit plus de buts marqués lors d’une partie de hockey, mais bien de gâteaux et de morceaux de gâteaux que possèdent l’équipe des + et l’équipe des ?. Ainsi, l’équipe des + a 3 gâteaux complets et un morceau de gâteau qui s’appelle un demi-gâteau. L’équipe des – possède 2 gâteaux complets, 2 demi-gâteaux et 2 quarts de gâteaux. Demandez aux élèves de trouver quelle équipe possède le plus de gâteaux. Laissez-les proposer et valider leurs idées. Ne le mentionnez pas, mais ils sont en train de résoudre : 

                                            .

Vous pouvez reprendre le même tableau en demandant s’il est possible de tout placer dans la colonne de droite. C’est possible et il sera facile de constater que chaque équipe possède 14 quarts. Et maintenant peut-on tout placer dans la colonne du centre ? Bien sûr, chaque équipe ayant 7 demi-gâteaux. Et enfin, peut-on tout placer à gauche ? Non, mais la solution la plus proche verra l’équipe des – afficher elle aussi 3 gâteaux complets et un demi-gâteau.

Ce qui précède vous permet aussi de développer la notion selon laquelle une fraction peut s’écrire de nombreuses façons.

Si nous voulons que les enfants construisent eux-mêmes leurs apprentissages, ne devons-nous pas observer dans quel ordre ils développent naturellement divers concepts ?

Pour terminer, une anecdote amusante. En travaillant avec des élèves de neuf ans, je leur ai demandé d’ordonner des fractions qui représentaient des morceaux de gâteaux. Or, plusieurs élèves prétendaient que ½ était plus grand que 2/4. Leur raison : si nous coupons un gâteau en 4 morceaux, nous faisons plus de miettes que si nous le coupons en 2 et, puisque nous ne mangeons pas les miettes, nous mangeons davantage de gâteau en prenant ½ gâteau. Et si nous mangeons les miettes ? Les élèves étaient d’accord, alors les deux choix sont identiques.

Puisque la période des vacances de Noel arrivera bientôt, le prochain numéro de Mathadore ne paraîtra que le 13 janvier prochain. À chacune et à chacun d’entre vous, il m’est agréable de souhaiter de très Joyeuses Fêtes. J’oubliais, lorsque vous vous regrouperez en famille et mangerez du gâteau, pensez aux fractions…

Robert Lyons