MATHADORE
         Volume 2 Numéro 85 - 5 mai 2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

          Comprendre pour connaître

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Qu’est-ce qui doit être développé en premier : la compréhension ou la connaissance ? Voici une expérience que j’ai pu vivre à plusieurs reprises avec des élèves de six ans. La compétence attendue est l’utilisation adéquate des symboles relatifs à la relation d’ordre.

Dans un premier temps, les élèves sont amenés à comparer deux ensembles, un de cinq éléments, l’autre de trois. Pour indiquer qu’un ensemble contient plus d’éléments que l’autre, on demande aux élèves de disposer entre ces deux ensembles deux bâtonnets identiques. Les bâtonnets seront placés de telle sorte que l’espace entre les extrémités voisines des bâtonnets, nous indiquera la relation entre les deux ensembles. Ainsi, nous laisserons plus d’espace entre les extrémités des bâtonnets là où l’ensemble possède le plus d’éléments. D’autre part, du côté de l’ensemble qui a le moins d’éléments, les bâtonnets se toucheront, il y aura donc moins d’espace entre leurs extrémités. D’où :

Après ce premier exemple, les élèves sont invités à comparer trois autres paires d’ensembles inégaux. Le cinquième problème devient très important. Il s’agit de demander aux élèves de comparer deux ensembles égaux. On leur proposera donc de placer un ensemble de quatre éléments à leur gauche puis un ensemble de quatre éléments à leur droite. Avec leurs bâtonnets, les élèves sont ensuite appelés à illustrer la comparaison entre les deux ensembles. Voici les configurations que nous avons pu observer.


 

En terme de connaissance, seule la première configuration est bonne, enfin, c’est la configuration conventionnelle. Les six autres configurations démontrent que le symbole d’égalité est inconnu. Mais ces autres configurations sont-elles utiles ?

Si nous observons bien les cinq premières configurations, une chose est évidente, les élèves ont cherché à disposer leurs bâtonnets de sorte que la partie de droite soit parfaitement symétrique à la partie de gauche. En les questionnant, ils nous expliquent que le nombre d’éléments étant le même dans chacun des ensembles, ils ont fait en sorte que leurs bâtonnets montrent cette similitude. Une égalité numérique illustrée par la symétrie, une propriété géométrique. Génial comme transfert ! Et dire que ces élèves n’avaient pas encore abordé de façon officielle l’étude du concept de 
symétrie ! Deuxième coup de génie !

Mais, les deux dernières configurations, bien que symétriques, sont un peu bizarres. En questionnant les élèves, il est clair que, cette fois, ils n’ont pas fait appel à la symétrie pour illustrer l’égalité. Ils nous ont répondu qu’aucun des ensembles ne contenaient plus d’éléments que l’autre. En plaçant les bâtonnets de sorte que les écarts entre leurs extrémités ne soient plus dirigés vers les ensembles, mais en haut ou en bas, ils expriment l’égalité. Ils justifient cette configuration en disant : « C’est ni l’un ni l’autre ». Troisième coup de génie !

Que pouvons-nous conclure de cette expérience réalisée à maintes reprises avec des résultats similaires ? D’abord qu’une seule représentation exprime la connaissance mathématique recherchée. Cette connaissance existait-elle déjà ? Nous l’ignorons, mais il est possible que certains élèves, qui débutent leur première année, aient déjà vu le symbole d’égalité.

La seconde conclusion semble beaucoup plus importante, toutes les configurations démontrent que les élèves ont compris l’importance d’illustrer l’égalité avec leurs bâtonnets. Ils ont bien compris que ce qu’ils avaient appris au préalable devait être modifié tout en gardant une sorte de dénominateur commun avec les apprentissages précédents.

Ces élèves ont tous manifesté une excellente compréhension, ils ont été créatifs afin de résoudre leur nouveau problème. Cette créativité ne les a cependant pas empêché de respecter les consignes du problème.

Il nous reste maintenant à leur mentionner le symbole conventionnel. Un truc : après les avoir félicités de leurs inventions, dites-leur que les mathématiciens ont décidé de choisir le symbole = parmi tout ce à quoi ils ( vos élèves, mais aussi les mathématiciens ) avaient pensé. Demandez-leur si ce choix est justifié et pourquoi. Vous vérifiez ainsi leur raisonnement. En passant, la plupart des symboles illustrés précédemment existent en mathématiques.

En leur présentant de cette façon le symbole d’égalité, vous verrez que, dès le lendemain, notre planète se sera enrichie d’une vingtaine de mathématiciens.

Que s’est-il donc passé ? D’abord nous avons présenté un problème. Les élèves ont manifesté qu’ils le comprenaient en résolvant les quatre premiers problèmes. Par la suite, ils sont allés plus loin, ils ont inventé une nouvelle utilisation de leurs bâtonnets pour illustrer l’égalité. De vrai(e)s Caboche ! Une preuve encore plus évidente de leur compréhension.

Chacune de leurs inventions a été justifiée et ils ont accepté la symbolisation officielle parce que, elle aussi,  était justifiée en fonction des contraintes du problème et de ce qui devait être exprimé. Salutations à Troublefête.

Il leur reste à se souvenir de la symbolisation officielle, ce qui ne sera pas difficile étant donné les inventions justifiées qui précèdent. Bonjour D3D4!

Cette expérience nous permet aussi de distinguer la communication, perçue comme une compétence générale s’appliquant à l’ensemble des activités humaines, de la communication vue comme une compétence mathématique.

L’invention des diverses configurations montre que l’élève a compris qu’il lui faut communiquer clairement sa pensée au moyen des bâtonnets ( compétence générale et transversale ). L’utilisation du symbole d’égalité manifeste la compétence de communication en mathématiques. C’est-à-dire le besoin de convenir d’un symbole parmi tous ceux qui sont possibles.

Et alors, qu’est-ce qui vient en premier : la compréhension ou la connaissance ? S’agit-il d’un problème semblable à celui qui vise à déterminer si l’existence de la poule a précédé celle de l’œuf ou si c’est l’inverse ? Il semble que non. Il est clair que la compréhension, le raisonnement et la connaissance forment une continuelle valse à trois. Telle connaissance s’appuie sur telle compréhension qui s’appuie elle-même sur telle connaissance.

Dans l’activité qui précède cependant, il est clair que les connaissances antérieures utilisées afin de présenter le problème ont conduit les élèves à développer une compréhension nouvelle et, par la suite, une nouvelle connaissance. Ainsi, si nous encadrons les diverses compétences relatives à un concept, il semble que la compréhension précède le raisonnement pour conduire ensuite à la connaissance. La construction de l’ensemble de ces compétences peut certes s’appuyer sur des compréhensions, raisonnements et connaissances antérieures.
 

Robert Lyons

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