MATHADORE
         Volume 2 Numéro 83 - 21 avril  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques



              Virage dramatique à l’université

Montréal
Musée de neurohistoire des mathématiques
Le 22 septembre 2222

- Je n’en reviens tout simplement pas, docteur Lovato ! Quand on sait que pendant plus de trois siècles, le calcul écrit au sujet des quatre opérations était enseigné dans toutes les écoles primaires de la planète, ce document sorti du Moyen Âge prend des airs de canular…

Le professeur Markov venait de parcourir la traduction d’une correspondance vieille de plusieurs siècles entre un riche marchand et un intellectuel. Le premier cherchait conseil auprès de son ami pour savoir où il serait préférable d’envoyer son enfant étudier la science des nombres et du calcul, afin de lui garantir la meilleure formation possible. C’est la réponse de cet ami avisé qui avait tant étonné le professeur Samuel Markov.

« Si tu désires l’initier à la pratique de l’addition ou de la soustraction, n’importe quelle université française, allemande ou anglaise fera l’affaire. Mais, pour la maîtrise de l’art de multiplier ou de diviser, je te recommande plutôt de l’envoyer dans une université italienne. »

Le docteur Lovato semblait amusée par la réaction de son collègue.

- À cette époque, le dur apprentissage de l’arithmétique élémentaire était strictement réservé à l’élite intellectuelle, au prix de trois ou quatre années d’études universitaires, souligna-t-elle pour rappeler à quel point la conquête du calcul humain non assisté n’avait rien d’une sinécure.

À quelques minutes de l’arrivée des jeunes, le professeur Markov parcourait, sur l’écran bleuté de sa table-écran, les notes préparées par le docteur Lovato en vue de la prochaine mission.

                                                                 Premières universités en Occident

C’est au tournant des XIIe et XIIIe siècles que sont fondées les premières universités européennes. À Bologne d’abord, puis à Paris, Montpellier et Oxford, ces nouveaux centres intellectuels sont des corporations autonomes vouées à la conservation, l’enrichissement et la diffusion des savoirs. Toutes s’intéressent aux études littéraires touchant notamment la philosophie, la logique et la grammaire. Certaines mettent au programme le droit ou la médecine. L’enseignement des sciences et des mathématiques est encore peu développé, mais la science des nombres et des opérations exerce déjà un très fort attrait.

                                                                                     Le papier

C'est en Chine en l'an 105 après J.-C., qu'est découvert le papier. À cette l’époque, la pâte à papier est fabriquée à l'aide de vieux chiffons, d'écorces et de filets réduits en bouillie. En 712, la bataille de Samarkand se traduit par la défaite des Chinois, qui livrent aux conquérants arabes les secrets de la fabrication du papier. L'invention se répand ainsi jusqu'en Andalousie. C'est près de Cordoue, puis à Séville, qu'apparaissent les premiers moulins à papier en Europe. Le papier est donc une autre merveilleuse invention transportée par les Arabes vers l’Occident, via l’Espagne.

Mission 8
Université de Paris
France
Le 8 octobre 1521

La joute oratoire à laquelle assistait les apprentis-archéologues depuis quelques instants à peine avait déjà de quoi étonner leurs jeunes esprits habitués aux technologies du XXIIIe siècle. Les adversaires avaient été présentés comme le sont les boxeurs lors d’un gala de championnat. D’un côté, maître Gregor, diplômé de l’Université de Prague, éminent arithméticien dont la renommée avait, depuis deux décennies, franchi toutes les frontières européennes, et de l’autre, Antonin de Carcassonne, le clerc le plus respecté parmi tous les diplômés de l’Université de Paris. Ce dernier était d’ailleurs à l’origine de l’événement auquel les jeunes apprentis avaient été autorisés à assister, non sans se voir administrer de cérémonieuses directives pouvant toutes se résumer à : 
« Prière de ne pas déranger… »

Assis dans des gradins ceinturant aux trois quarts l’arène du débat oratoire, une cinquantaine d’intellectuels venus des écoles et des universités d’Europe, tous tirés à quatre épingles, assistaient au spectacle avec un intérêt non dissimulé. En ouverture, le moine Auguste de Cernay avait fait les présentations et situé le débat.

- Depuis des siècles, le calcul à la plume procède strictement des unités les plus grandes vers les plus petites. Les techniques par raturage (voir vol2num77.html ) ont durant tout ce temps été enseignées dans toutes les écoles d’arithmétique et dans nos universités. Le très respectable clerc Antonin de Carcassonne désire attirer l’attention sur des méthodes de sa création qui transformeraient radicalement notre enseignement et nos traditions.

Un murmure de réprobation avait aussitôt fait frissonner l’assistance. Les jeunes explorateurs du passé sentirent que la partie ne serait pas facile pour le clerc révolutionnaire. Pourtant, Antonin affichait un air confiant, voire triomphant. Son assurance n’avait d’égale que la vigueur de son opposant, qui ne pouvait s’empêcher d’afficher une noble indignation.

- Comment peut-on sérieusement proposer un mode de calcul qui conduit à noter le résultat en commençant par les plus petites unités ? s’était d’abord insurgé le maître de l’Université de Prague, en réaction aux prétentions d’Antonin. Nous devrions donc, selon vous, lire les nombres de la gauche vers la droite, les écrire pareillement, mais - par quel sortilège ? – les opérer en sens contraire !

Patiemment, Antonin de Carcassonne avait alors exposé sa thèse.

- Comme mes savants confrères le savent déjà, le calcul à la plume trouve sa plus grande utilité dans la tenue des états du commerce. Il est d’un indiscutable intérêt que les procédés employés laissent des traces permanentes des étapes suivies pour permettre la vérification comptable et la révision des calculs. J’admets qu’à ce jour, les techniques par raturage nous ont très bien servi, mais de nouvelles circonstances nous obligent à les remettre en question. Depuis l’invention de l’Allemand Gutenberg, la demande de papier par les éditeurs s’est trouvée décuplée. Cette folle sollicitation a fait grimper la demande à telle enseigne que nos institutions se trouvent souvent à court de cet indispensable support à nos activités. J’ajouterais aussi, sans aucune présomption, que les techniques par raturage ont quelques défauts. L’addition comme la soustraction nous contraignent généralement à des réécritures rendant la progression du calcul hésitante et saccadée. Les nombreuses ratures rendent souvent quasi illisible le travail de ceux qui ne s’appliquent pas avec une constante minutie.

Des feuilles de papier de bonne taille, une plume et un encrier étaient posés sur la table qui le séparait de son rival. Écrivant en gros caractères pour permettre à l’assistance de suivre sa démonstration et accompagnant ses écrits de descriptions détaillées, le clerc parlait du ton de celui qui a percé un grand secret et qui meurt d’envie de le partager. Il poursuivit :

 - Prenons cette simple addition (figure 1). Comparons la technique par raturage à celle que je vous propose, en toute modestie. Je commence par les unités, et je pose ainsi 13, la première somme (figure 2).

Comme vous pouvez le constater, la poursuite de l’opération se fait sans rature (figure 3) et me permet de noter la somme (figure 4) sur une seule ligne. Le résultat est simple à lire ; plus besoin d’une lecture en escalade comme dans la technique usuelle. Et j’ai économisé de l’espace sur le précieux papier !

Chaque fois qu’une pareille situation se présentait, les jeunes ne pouvaient s’empêcher d’échanger des regards entendus, en se remémorant les bonds dans l’esprit de Meng Ti, le comptable du chantier de la Grande Muraille, rencontré lors de leur troisième mission (Mathadore 65). L’assistance, elle, ne put réprimer un murmure trahissant l’étonnement des uns et le désaccord des autres. Profitant habilement de l’effet de scène, Antonin suspendit sa démonstration durant quelques secondes.

- Seigneur Tout-Puissant ! Que voilà une bien mince économie pour une aussi bouleversante stratégie ! hurla presque maître Gregor. Êtes-vous sérieux ? Je n’arrive d’ailleurs pas facilement à me convaincre que votre entourloupette ne nous occasionnera aucune vilaine surprise en générant des réponses inadéquates…

- Je vous comprends, maître Gregor. J’ai, moi-même au début, ressenti vos inquiétudes. Mais, soyez rassuré : le temps où nous nous attardons aux unités ne permet pas aux centaines de grandir subrepticement, glissa Antonin, sans aucune pointe de dérision. Par ailleurs, l’économie d’espace et le gain de clarté lors de la révision des calculs deviennent beaucoup plus probants si les nombres à additionner sont de plus grandes dimensions (figures 5 et 6).
 

La réaction de l’assistance laissa cette fois poindre une certaine admiration. Réalisant ce glissement en sa défaveur, le maître de l’Université de Prague lança une offensive qu’il voulait décisive :

- Mais alors, comment pourriez-vous soutenir une telle démarche à rebours s’il vous fallait soustraire, disons 4789 de 8123 ?

Le coup porta. L’exécution de cette soustraction s’avérait beaucoup plus laborieuse que l’addition et l’assistance ne laissa même pas à Antonin le temps de la compléter. Un indescriptible tollé s’éleva rendant pratiquement impossible la moindre tentative de convaincre un auditoire désormais entièrement rangé du côté de maître Gregor.
 

Montréal
Musée de neurohistoire des mathématiques
Salle des discussions

Réunis à l’auditorium du Musée, les jeunes n’arrivaient pas à s’expliquer en quoi cet étonnant débat oratoire pouvait leur être utile dans leur reconquête du calcul. Le plus médusé de tous était le professeur Markov.

- Docteur Lovato, vous nous avez habitués à des missions qui nous permettaient de réaliser à chaque fois un important progrès par rapport aux découvertes que nous avions réalisées antérieurement. En quoi ce duel, ayant viré au massacre du pauvre Antonin, peut-il nous éclairer ? D’ailleurs, j’avoue que, quoique j’aie trouvé le jeune homme fort sympathique, je n’ai pas cessé de me demander si sa proposition ne cachait pas un brin de délire, voire une certaine démence. Non, mais, on n’a pas idée de calculer en sens inverse du gros bons sens, c’est le cas de le dire !

Les apprentis-archéologues ne purent s’empêcher d’approuver le constat de leur compagnon d’aventure.

Caroline Lovato ne put d’avantage retenir son fou rire.

- Croyez-le ou non, mais l’idée qui vous paraît aussi saugrenue qu’aux spectateurs que vous venez de côtoyer à l’Université de Paris n’a pas été reléguée aux oubliettes… Oh ! Il a bien fallu attendre quelques années, mais sachez que du XIXe siècle jusqu’à l’abolition du calcul écrit dans les écoles en 2128 tous les écoliers du monde apprenaient le calcul écrit de la droite vers la gauche, un peu à la manière d’Antonin pour l’addition, la soustraction et la multiplication !

La déclaration du docteur Lovato eut l’effet d’une bombe. Incrédules, les jeunes se mirent à discuter bruyamment et à questionner la directrice du Musée dans le désordre le plus complet. Le calme retrouvé, le professeur Markov s’étonna de la réussite d’une entreprise qui lui avait pourtant semblé hautement impopulaire auprès des contemporains du clerc Antonin.

- Calculer ainsi à rebrousse-poils ne pouvait que tuer le calcul mental ! On se trouve condamné à compter avec les yeux dans les poches, avait-il conclu en déclenchant un éclat de rire général.

- Vous avez raison, professeur, mais il faut comprendre que pendant un certain temps, les comptables européens utilisèrent en parallèle le boulier et le calcul écrit au moment d’opérer. La vraie rupture entre le calcul et l’intuition est survenue au début du XIXe siècle quand les bouliers furent jetés à la poubelle, laissant alors toute la place au calcul écrit orienté en sens inverse de la lecture et de l’écriture.

Comme à chaque retour de mission, les questions ne tardèrent pas à s’aligner ouvrant la porte à plusieurs projets de recherche pour les jeunes.

1. Que savons-nous de l’histoire du papier ?
2. Quelle invention Antonin évoque-t-il pour expliquer la forte demande de papier en Europe, à son époque ?
3. Comment justifier la technique d’Antonin avec le super-abaque ? Refaisons donc sa démarche (figures 2 à 4) en parallèle.
4. Pourrions-nous effectuer quelques additions à la manière d’Antonin ?
5. Peut-on tenter d’imaginer ce qu’aurait pu être une soustraction à la manière d’Antonin ? Et une multiplication ?
6. Connaît-on la façon d’effectuer une addition de droite à gauche, comme le faisaient les écoliers du XXe siècle ?
7. Avec le super-abaque, pourrait-on rassurer maître Gregor à l’effet que, peu importe le sens emprunté pour additionner des nombres, le résultat sera le même ?
8. Pourquoi l’inversion du sens de la progression du calcul n’a-t-elle pas affecté la technique de division, comme ce fut pourtant le cas pour les trois autres opérations de base ?

Quand les jeunes eurent quitté la salle des discussions, le professeur Markov ne put s’empêcher de prolonger la réflexion avec sa collègue.

- N’est-ce pas incroyable de réaliser que pendant plus de trois siècles, les écoles enseignèrent des procédés de calcul contre-nature et pour des raisons qui n’avaient plus leur pertinence ? finit-il par conclure.

- Nous reconnaissons ici l’un des facteurs les plus importants de la totale domination asiatique dans le domaine du calcul à une époque dont nous avons déjà discuté (Mathadore  vol2num65.html), renchérit Caroline Lovato. Vous vous souvenez certes que les calculateurs asiatiques avaient, eux, conservé leurs bouliers et qu’ils accompagnaient son apprentissage de celui du calcul écrit procédant de droite à gauche. Cela leur donnait le puissant avantage de connaître et de réconcilier deux procédés de calcul apparemment étrangers l’un à l’autre et pourtant si rapprochés…

Au terme de cette huitième et dernière mission, le projet de recherche du docteur Lovato complétait son premier mandat : retracer les étapes ayant permis le développement initial du calcul humain non assisté. L’ultime mission avait de plus révélé un secret étonnant : les raisons de l’inversion du sens de la progression du calcul écrit (jadis de la gauche vers la droite et progressant désormais des plus petites unités vers les plus grandes). Cette décision historique cruciale, prise originellement dans le contexte médiéval du calcul à la plume et strictement pour des raisons d’économie et de propreté, allait s’avérer extrêmement coûteuse pour l’avenir du calcul humain.

Ayant ouvert la porte au « calcul sans voir », l’exécution des opérations de la droite vers la gauche a, en effet, progressivement étouffé le calcul mental et entraîné la décadence du calcul efficace. Sans compter que cet épisode a du même coup donné naissance au « calcul sans comprendre » !  Du XIXe au XXIe siècle, l’Occident s’est donc acharné à imposer, souvent de façon quasi répressive, le calcul écrit aveugle, réservant de moins en moins d’espace au calcul mental. Profitant de cette tragique erreur d’aiguillage, les pays ayant conservé le calcul traditionnel sur boulier - la plupart localisés en Asie - ont ainsi pu progressivement imposer leur domination en mathématiques en continuant à compter dans… le bon sens !

Avec ce numéro s’achèvent les parutions de Mathadore traitant du projet Markov/Lovato. Je remercie les groupes ayant participé de façon plus intime à son développement expérimental et je souhaite à toutes les lectrices et à tous les lecteurs une bonne fin d’année scolaire et des vacances régénératrices.

Michel Lyons