MATHADORE
         Volume 2 Numéro 78 - 17 mars  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                Ah ! Les fractions !

Si vous avez obtenu les premières versions du nouveau programme, vous avez pu constater qu’en ce qui concerne les fractions, les changements ont été nombreux d’une version à l’autre. Il est clair que les auteurs de ce programme voulaient éviter aux élèves les nombreuses difficultés accompagnant l’apprentissage des fractions. Il est clair aussi que, dans ce but, ils ont eu le réflexe habituel qui consiste à repousser l’apprentissage le plus loin possible.

En trente années de pratique axées sur la compréhension des difficultés des élèves et de leurs causes, nous avons constaté que celles-ci étaient  rarement dues au fait que nous allions trop vite. Au contraire, les difficultés les plus répandues et les plus persistantes découlent d’une séquence d’apprentissages qui est trop longue. En ce qui concerne les fractions, les difficultés proviennent presque toujours d’un apprentissage trop tardif. La séquence d’apprentissage permet aux élèves de développer des concepts « temporairement  vrais ». Des concepts qui permettent de « comprendre » les opérations sur les entiers positifs mais qui conduisent ensuite à l’échec.

Le nouveau programme repousse au secondaire les techniques de calcul sur les fractions, se contentant du développement du « sens des opérations » chez les élèves de 10 et 11 ans ( troisième cycle ). On remarquera qu’au premier cycle ( 6 et 7 ans ), le programme mentionne certains sens à utiliser lorsque sont présentées les opérations sur les entiers positifs. En ce qui concerne les fractions, aucun exemple.

Faut-il en conclure que les opérations sur les fractions ne s’appliquent pas dans la réalité ? Ou qu’opérer sur des fractions n’a pas le même sens qu’opérer sur les entiers ? Une chose est certaine, lorsqu’un élève apprend à compléter 3 + ¤ = 5 à six ans et lorsqu’on attend qu’il atteigne douze ou treize ans pour lui demander de résoudre 3 + x = 5, il est souvent étonné d’apprendre que x = 2. En fait, ce qui l’étonne, c’est que nous ayons pris autant de temps à aborder cette forme d’équation alors que déjà à six ans… Il y a même des élèves qui pensent que x = 2, mais n’osent pas le dire de peur de passer pour des élèves de six ans ! D’autres pensent que tout ce temps écoulé entre l’apprentissage de 3 + ¤ = 5 et de 3 + x = 5, prouve que x ne peut être égal à 2.

Que se passe-t-il avec les fractions ? Le temps passé entre l’apprentissage des opérations sur les entiers et l’apprentissage des opérations sur les fractions est perçu par l’élève comme une preuve que les opérations sur les fractions n’ont rien à voir avec les opérations sur les entiers. Le nouveau programme étire plus que jamais la période entre ces deux apprentissages et vous pouvez parier que l’enseignement des opérations sur les fractions sera plus difficile que jamais à moins que les méthodes d’enseignement évoluent. Bref, il faudra contrer les effets néfastes du programme en tentant de faire oublier aux élèves qu’ils sont en train de faire une multiplication ou une division.

Pensez-y, l’élève qui a appris à six ans que la multiplication est une addition répétée, devra l’oublier lorsqu’il apprendra que  ½  x  ½  = ¼. Plus il aura eu du succès avec sa conception première du « sens de la multiplication », plus il lui sera difficile de l’oublier.

En ce qui concerne les fractions, le nouveau programme fait donc la pire erreur et il est à prévoir, qu’au secondaire, l’apprentissage des opérations sur les fractions sera plus difficile que jamais. Il aurait pourtant été si facile de régler ce problème !

Un dernier mot, cette fois sur les entiers relatifs. Le programme en maintient l’apprentissage à la fin du primaire. Ici aussi ceux qui l’ont conçu ont raté une belle occasion. Pensez-y, en addition, l’élève apprendra qu’additionner c’est ajouter et pourtant (+4) + (-5) = (-1) et, par ailleurs, la soustraction est présentée comme un retrait jusqu’au jour où (+4) – (-5) = (+9)…

Croyez-vous sincèrement que les élèves qui vivront avec ce nouveau programme sauront éviter mieux que leurs prédécesseurs les embûches qui ont conduit plusieurs de ceux-ci à de nombreuses difficultés ?

Pourquoi les auteurs du nouveau programme n’en ont-ils pas profité pour corriger ces erreurs qui ont figuré dans tous les programmes précédents alors que depuis vingt ans ces erreurs sont connues ? Pourquoi n’ont-ils par profité de ce nouveau programme pour forcer l’implantation de nouvelles habitudes d’enseignement ? Que risquaient-ils puisque ces nouvelles habitudes sont validées depuis au moins dix ans et ont prouvé que les élèves de huit ou neuf ans peuvent effectuer les quatre opérations aussi bien sur les entiers que sur les fractions ?

Robert Lyons