MATHADORE
         Volume 2 Numéro 75 - 24 février  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                    La multiplication dès 6 ans

Le numéro 45 de Mathadore vol1num45.html  expliquait que l’apprentissage du concept de multiplication doit être réalisé avant l’apprentissage de la numération positionnelle. Le nouveau programme du Québec corrige celui de 1980 qui avait repoussé la multiplication en troisième année. Malheureusement, si une séquence d’apprentissage apparaît lorsqu’on compare les contenus énumérés pour chacun des cycles d’enseignement, aucune séquence n’est indiquée concernant les apprentissages visés à l’intérieur d’un cycle donné. Cela se comprend très bien, car cette séquence peut habituellement varier sans dommage. Sauf au sujet de la multiplication et de la numération !

De plus, dans le nouveau programme, la multiplication est associée à l’addition répétée et au produit cartésien, nous avons déjà évoqué cette maladresse dans Mathadore 66 vol2num66.html . Ce qui est malheureusement absent, c’est la perception de la multiplication du point de vue de la capacité à considérer deux aspects d’un même élément, en même temps. Or cet aspect est de loin le plus important.

En numération, le nombre 38 est souvent perçu comme formé de 3 dizaines et de 8 unités. Pour l’enfant pré-opératoire, il n’y a pas d’unités dans ces 3 dizaines. Cette incapacité à considérer qu’il y a des unités dans 3 dizaines l’amène à une erreur lorsqu’il doit calculer 38 – 19. Il considère que 8 – 9 est impossible et il ne comprend pas encore l’emprunt.

Vous voulez savoir si un élève est prêt à inventer le groupement d’abord et la numération positionnelle ensuite ? Montrez-lui l’illustration suivante.


 

 Demandez-lui s’il y a plus de lions ou plus d’animaux. L’enfant pré-opératoire, c’est-à-dire celui qui ne considère pas encore deux aspects d’un même élément parallèlement, vous dira qu’il y a plus de lions que d’animaux. Ce n’est pas un problème de vocabulaire, vous n’avez qu’à lui demander ensuite : « Y a-t-il plus d’ânes ou plus d’animaux ? » et il vous dira qu’il y a plus d’animaux car il y en a trois ( les 3 lions ).

On comprendra facilement que l’enfant qui ne peut envisager qu’un lion soit à la fois lion et animal ne réussit pas à envisager que, dans 38, le 3 représente à la fois 3 dizaines et 30 unités. Cela s’appelle la double inclusion, le lion est inclus à la fois dans l’ensemble des lions et dans celui des animaux. Le 3 appartient à la fois à l’ensemble des dizaines et à celui des unités.

En fait, la multiplication, l’intersection et la double inclusion constituent des concepts indissociables. Et, lorsque nous mentionnons l’importance de développer chez les élèves une bonne compréhension de la multiplication, c’est en pensant à la multiplication vue sous cet angle et non en pensant à ses représentations symboliques, à ses algorithmes de calcul ou aux tables de multiplication.

En ce qui concerne la multiplication, le nouveau programme la situe adéquatement au premier cycle. Il reste à voir si elle sera perçue comme la capacité de l’élève à coordonner deux aspects d’un même élément et si elle sera présentée aux élèves avant l’apprentissage de la numération positionnelle. La formulation du nouveau programme n’aide pas sur ce point capital.

Un dernier mot : historiquement, la numération positionnelle a été mise au point il y a environ 1500 ans alors que la capacité d’un être humain à coordonner deux aspects d’un même élément date de plusieurs millénaires. Par contre, la symbolisation moderne de la multiplication et de ses algorithmes est beaucoup plus récente, à peine cinq siècles. L’histoire ne nous enseigne-t-elle pas clairement dans quel ordre doivent se faire ces apprentissages ? Nos ancêtres ont construit ces concepts mathématiques à partir des compréhensions qu’ils avaient développées au préalable. Ce qu’ils ont fait était de nature constructiviste, ils n’avaient pas le choix. Le nouveau programme se veut constructiviste or, le seul modèle qui existe en ce sens, c’est le développement des concepts en respectant la séquence historique.

Robert Lyons