MATHADORE
         Volume 2 Numéro 71 - 27 janvier  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                   Le super-abaque de Gerbert

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Le 6 juillet 2222

N’ayant pas réalisé que le docteur Caroline Lovato venait de faire son entrée dans la bibliothèque du Musée de neuro-histoire, le professeur Samuel Markov se mit à réfléchir à voix haute :
- Il doit bien y avoir un moyen de simplifier ces abaques. Je sens que je tourne en rond, ma parole…

Devant lui se trouvaient les deux abaques romains utilisés par les jumelles Horatius (voir Mathadore  vol2num68.html ), un lot de jetons de calcul et des feuilles de papier où figuraient plusieurs esquisses rappelant ses vaines tentatives des dernières semaines en vue de dessiner ce qu’il appelait « un abaque mieux adapté aux besoins du XXIIIe siècle »… Amusée, Caroline Lovato ne pouvait se contenir davantage.
- Professeur Markov, qu’est-ce qui vous déplaît tant dans les abaques romains ? Ils ont pourtant été utilisés en Europe pendant plus de mille cinq cents ans. Et vous ne les étudiez que depuis deux mois ! s’étonna ouvertement la chercheuse.
- Je sais, je sais… Mais ces indispensables compagnons du calcul nous forcent néanmoins à manipuler une quantité industrielle de jetons ! Nous perdons un temps fou à les déplacer, à les regrouper, à les échanger… L’abaque simplifié des sœurs Horatius améliore les choses, mais nous, gens du XXIIIe siècle, ne sommes pas les comptables du Moyen Âge ; nous sommes obsédés de vitesse et de rapidité d’exécution, soupira l’octogénaire.
- N’est-ce pas précisément cette course vertigineuse qui a donné naissance au calcul assisté par bio-calculateur, et à la catastrophe qui nous a conduits au projet de redécouvrir le calcul 
humain ? remarqua judicieusement le docteur Lovato.
- Vous marquez un point, chère collègue. Mais, je persiste à croire qu’il y a sûrement moyen d’améliorer ces précieux abaques…

À quelques heures d’accueillir ses jeunes protégés et de les accompagner dans leur cinquième mission, Samuel Markov se penchait attentivement sur la table-écran pour consulter la documentation mise à sa disposition par le docteur Lovato. Depuis sa récente conversation avec la directrice du Musée, le professeur avait gardé l’impression qu’elle lui réservait une surprise. Mais peut-être n’était-ce qu’une impression…

Gerbert d’Aurillac (940 ap. J.-C. à 1 003)

D’aucuns auraient cru qu’avec l’introduction en Occident chrétien des chiffres et de la numération indienne (que nous utilisons encore aujourd’hui) par Gerbert d’Aurillac, l’Europe allait accueillir à bras ouverts cette merveilleuse invention et jeter par-dessus bord la vieille numération romaine et les encombrantes tables à jetons remontant à l’antique époque des Césars. Ce ne fut pas le cas. L’ignorance et le conservatisme implacable des intellectuels européens de l’époque firent systématiquement obstruction à la nouvelle science dont le plus grand défaut était certes de leur être transmise par des savants musulmans… Gerbert fit donc oeuvre de pionnier. Son ouverture d’esprit lui valu cependant d’être suspecté de collaborer avec les ennemis de la Sainte Église romaine et d’avoir vendu son âme en échange de la science des « infidèles Sarrazins ». Ce lourd soupçon le poursuivra d’ailleurs, longtemps après sa mort, jusqu’au milieu du XVIIe siècle quand l’autorité pontificale fit ouvrir son tombeau pour s’assurer que les diables de l’enfer ne l’habitaient pas encore… !

Quand Samuel Markov pénétra dans le laboratoire, il entendit les apprentis-archéologues lâcher un soupir d’impatience.
- Ah ! Je vois que mes jeunes explorateurs prêchent le respect de l’horaire ! Je suis franchement désolé. Plongé dans la littérature de notre future mission, je n’ai pas vu le temps passer, leur lança-t-il pour s’excuser de son retard. Ne partez surtout pas sans moi !

 
Mission 5
France du Haut Moyen Âge
École diocésaine de Reims
Le 17 décembre 999

Jamais, au cours de leurs précédentes missions, les jeunes n’avaient ressenti autant de tension et de mystère autour de leur présence. L’homme vêtu d’un sombre manteau, qui les avait accueillis, n’avait d’ailleurs pas retiré son capuchon qui dissimulait complètement ses traits. Pieds nus sur le sol dallé de pierres rectangulaires, leur guide marchait silencieusement devant eux en les menant à travers les méandres de l’école aux allures de monastère où ils avaient débarqué. Sous la lueur des rares lampes à l’huile, ils traversèrent un immense hall où une vingtaine de colonnes de pierre semblaient monter la garde. Le guide s’arrêta enfin dans une pièce meublée de tables couvertes de manuscrits et aux murs tapissés d’étagères remplies d’instruments d’astronomie. Sa voix autoritaire s’éleva, irréelle :
- Il sera là d’un moment à l’autre. Vous êtes privilégiés de pouvoir lui parler. Je vous prie de vous adresser à lui en l’appelant  Votre Sainteté. Soyez très attentifs, il ne dispose que de peu de temps. Et surtout, ne parlez à personne de cette rencontre tant que vous n’aurez pas regagné votre époque.
- Eh bien ! mon fidèle Notger, tu me parais bien nerveux, aujourd’hui. N’es-tu pas heureux de revoir ton vieux compagnon ?

La voix chaude et amicale semblait venue de nulle part. Tel un spectre, Gerbert sortit soudain de l’ombre. Aussitôt, Notger se jeta à ses pieds baisant respectueusement la main tendue du nouvel arrivant.
- Relève-toi, ordonna Gerbert en donnant une chaleureuse accolade à notre guide. As-tu des nouvelles de notre ami Heriger ?
- Il y a déjà quelques mois que je ne l’ai vu, Votre Sainteté. À cette époque, il avait amorcé l’écriture d’une œuvre destinée à enseigner la puissance et les vertus de votre abaque. Je me souviens qu’il voulait l’intituler Regulae numerorum super abacum Gerbert, Opérations sur le super-abaque de Gerbert, en votre honneur.
- Et à vous, mes jeunes et curieux amis, bienvenue dans l’école où j’ai tant appris et tant enseigné. Suivez-moi, pour que je vous initie à cet abaque, qui me vaut l’honneur de votre visite.

Baissant subitement le ton, Gerbert poursuivit :
- Il y a une trentaine d’années, frustré de ne pouvoir trouver en France la réponse à mes besoins de connaître la science du calcul, je me suis rendu secrètement à Cordoue, déguisé en pèlerin musulman. Dans l’une des plus grandes écoles de l’Islam, j’ai pu étudier l’arithmétique et l’astronomie. C’est là que je fus initié à la numération et aux calculs des moines de l’Inde. À cette époque, et encore au moment où je vous parle, ce savoir précieux n’était nulle part plus brillamment enseigné qu’en Andalousie, sous le prestigieux califat des Omeyyades. J’y ai appris que les moines de l’Inde utilisaient une planchette recouverte de poussière où ils traçaient des signes servant à remplacer les jetons de calcul devenus, pour eux, trop encombrants (voir Mathadore   vol1num50.html ).

Intimidés par les avertissements de Notger, les jeunes n’osaient pas interrompre le savant visiblement emporté par la passion qui l’habitait. D’un geste théâtral, Gerbert étala sur une table un lot de jetons de corne marqués de symboles que les apprentis-archéologues eurent l’impression de reconnaître (figure 1). Sur sa lancée, le maître calculateur enchaîna :
- Aussi incroyable que cela puisse paraître, le système rapporté par les Arabes à Cordoue permet de représenter n’importe quel nombre avec seulement dix signes, appelés chiffres. Et, croyez-le ou non, l’un de ces signes signifie « rien », murmura Gerbert sur un ton de confidence suprême.
- C’est le zéro, ne put s’empêcher de répliquer le jeune explorateur qui se tenait tout près de Gerbert.
- Seigneur Tout-Puissant ! Vous êtes donc au courant ? Pourtant, l’Europe chrétienne s’obstine à conserver le vieil abaque romain ainsi que ces pauvres chiffres du même héritage. Impossible de convaincre les abacistes des vertus de la numération à dix chiffres.

Dégageant la table où il venait de déposer ses jetons, Gerbert attira l’attention du groupe sur les lignes gravées dans la surface de bois (figure 2).
- Un abaque romain ! réagirent en chœur les visiteurs, reconnaissant un tracé très similaire à celui qui se trouvait sur la table de travail de Cornelia lors de leur précédente mission (voir Mathadore  vol2num68.html).
- Oui, un abaque romain ! Mais, observez comment il est simplifié par l’usage des apices (prononcer « apitchèsses »), mes inestimables jetons de corne. Au lieu d’utiliser tout un lot de jetons, j’arrive à marquer le nombre neuf mille sept cent cinq avec seulement trois apices (figure 2), lança Gerbert triomphant.

Les jeunes étaient à la fois étonnés par la mise en scène et rassurés de reconnaître la plupart des chiffres appris à l’école de leur mégapole. La jeune visiteuse placée en face du maître s’étonna cependant de l’étrange allure du chiffre 5.
- N’est-ce pas plutôt un 4 ? avait-elle poliment demandé.

Patiemment, le savant lui avait expliqué que non, et il lui avait rappelé que la mémorisation des chiffres était l’un des obstacles superficiels, mais importants, qui semblaient effrayer plusieurs de ses contemporains.
- Je soupçonne aussi que la plupart des calculateurs professionnels sont un peu trop à l’aise dans leur méthode de calcul sur les tables à jetons, et qu’ils ont su se rendre indispensables auprès des intendants de domaines, des commerçants ou des gouvernants. Ils ne tiennent absolument pas à ce que le calcul des quatre opérations arithmétiques puisse se vulgariser. Ils vivent de la difficulté que les gens ont à calculer ; je constate qu’ils ne cherchent pas à faire évoluer le calcul, mais seulement à en conserver le monopole, avait conclu Gerbert en prenant un air franchement outré.
 

Suivit une patiente démonstration du fonctionnement de l’abaque de Gerbert par son inventeur. Pour l’addition des nombres 278 et 693, Gerbert posa d’abord les deux nombres (figure 3) au moyen des apices. Puis, procédant en premier avec les centaines, il remplaça les deux jetons par un seul, celui affichant un 8 parfaitement semblable au chiffre que les jeunes connaissaient déjà. Passant ensuite aux dizaines, Gerbert posa un geste qui retint aussitôt l’attention du groupe : le 16 représentant cette somme partielle fut directement disposé par le maître sur deux colonnes (figure 4) et il fit de même avec les 11 unités (figure 5). La suite de l’opération prit alors l’allure d’un jeu d’enfant.

L’opération suivante visait à soustraire 493 du nombre 618 (figures 6 et 7). L’étape la plus délicate fut celle où il avait fallu transformer deux centaines en une centaine et dix dizaines (figure 8) pour permettre la soustraction des 9 dizaines. On sentait toute l’attention des visiteurs exclusivement concentrée sur l’abaque de Gerbert.
- Il y a ici des bonds dans l’esprit qui feraient sauter les neurones de Meng Ti ! ne put s’empêcher de murmurer le plus jeune des apprentis-archéologues, provoquant aussitôt un fou rire que Gerbert ne comprit pas le moins du monde.

 

La démonstration suivante parut plus simple que la soustraction aux visiteurs du futur. Il fallait multiplier le nombre 263 par 6 (figures 9 à 12). « Facile, dans la mesure où on connaît la table de multiplication ! » convinrent-ils lors d’une discussion après coup.
- Et la division, Votre Sainteté, est-elle aussi compliquée que sur l’abaque romain ? demanda le moins timide du groupe.
- Oh ! Je sais. La division n’est, à ce jour, maîtrisée que par de rarissimes calculateurs européens. L’usage des apices ne simplifie pas sa nature profondément complexe. Mais, elle permet de nous dégager d’une fastidieuse manipulation de jetons, répliqua Gerbert en passant paternellement le bras autour des épaules du jeune questionneur.
- Votre Sainteté, interrompit Notger, le jour va bientôt se lever. Il ne faut absolument pas qu’on vous voit ici, surtout pas en train d’enseigner la science des Arabes. Vous connaissez toutes les rumeurs que vos détracteurs font circuler à votre sujet…
- Tu as raison, mon fidèle ami. Quand je pense à tous ces faux savants et pauvres illuminés qui nous entourent et qui ne cherchent que la magie là où le Créateur a plutôt laissé agir la logique et la rationalité. Prenez l’arrivée imminente de l’an mil, qui les met dans un état lamentable d’angoisse et de frayeur. À les en croire, le monde va s’écrouler parce que nous allons remplacer dans quelques jours une litanie de chiffres romains par un simple M…, soupira Gerbert en quittant la table où il avait jadis dû passer des nuits entières de réflexion.

Après des accolades d’une cordialité inattendue de la part d’un personnage visiblement aussi important, les jeunes prirent le chemin du retour conscients qu’ils venaient de croiser un personnage important de l’histoire du calcul.

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Salle des discussions

Le professeur Markov se trouvait dans un état d’excitation indescriptible et tous les yeux étaient tournés vers lui.
- Non, mais, vous avez vu ça ? Un super-abaque, qu’ils ont dit. Eh bien moi, ce Gerbert, il m’a inspiré. Donnez-moi un petit trente minutes de travail et je vous bricole le super-abaque qui me trottait dans le ciboulot depuis des jours.

Laissant les jeunes aux bons soins de Caroline Lovato, le professeur Markov quitta la pièce en trottinant. Comme toujours, au retour d’une mission, les questions se précipitaient et le docteur Lovato en dressait une liste pour étude dans les semaines qui allaient suivre.
1. Où se trouve l’école diocésaine de Reims lieu de notre mystérieuse rencontre ?
2. Que sait-on de cette époque ?
3. Quelle était la fonction de prestige occupée par Gerbert d’Aurillac en l’an 999 ?
4. Que sait-on de Notger et de Heriger, les deux amis de Gerbert ?
5. Comment faut-il interpréter les chiffres romains aperçus sur l’abaque de Gerbert ?
6. Que sait-on des apices (pluriel du mot apex) et de l’évolution graphique des chiffres indo-arabes au fil des siècles ?
7. Depuis quand les chiffres que nous utilisons ont-ils acquis leur forme définitive ?
8. Peut-on compléter les trois démonstrations de Gerbert ?
9. Et la division, pourrions-nous imaginer son déroulement sur ce super-abaque ? 
10. Quelques exercices sur l’abaque de Gerbert ne seraient-ils pas les bienvenus ? Le docteur Lovato proposa de remplacer les apices par des cartes à jouer (de l’as au neuf, l’as valant 1) déposées sur une table séparée en colonnes par un rang de cartes de référence disposées face cachée.
11. Pouvons-nous transposer sur l’abaque de Gerbert toutes nos connaissances au sujet des abaques romains ?
12. Peut-on également imiter les transactions en kilodollars sur cet abaque ?
13. …

Au moment où les jeunes allaient quitter l’amphithéâtre, le professeur Markov revint en brandissant une pièce de carton sur laquelle on pouvait apercevoir des chiffres et des cercles.

- Eurêka ! J’ai trouvé ! Voici le super-abaque de Markov, lança-t-il en rigolant comme un gamin. Mes chers explorateurs, nous allons réécrire l’Histoire !

Michel Lyons

P.S. Une copie de l’abaque du professeur Markov sera expédiée prochainement aux groupes inscrits. Nous vous suggérons de prendre un peu de temps avec vos apprentis-archéologues pour en imaginer le fonctionnement de base, d’ici notre prochaine mission (Mathadore 74). La sixième mission ne comportera d’ailleurs aucun voyage dans le passé, mais plutôt une exploration du potentiel du super-abaque de Markov, un instrument de calcul mieux adapté aux besoins du… XXIIIe siècle ! 
 

Note aux responsables des groupes inscrits au projet

Un triste accident de parcours nous a subtilisé notre banque d’adresses des personnes ayant inscrit des jeunes au projet. Heureusement, une copie de sauvegarde nous a permis de récupérer la très grande majorité de vos coordonnées. Si vous avez reçu la semaine dernière les activités 1 et 2 de la mission 4, alors nous sommes toujours en contact. Sinon, vous n’existez plus dans nos registres ! Dans ce cas, retournez-nous vos coordonnées et acceptez nos plus plates excuses. M.L.