MATHADORE
         Volume 2 Numéro 68 - 6 janvier  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           Cailloux, calculi, calcul…

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Le 1er juin 2222

Assis à la cafétéria du Musée, Caroline Lovato et Samuel Markov se penchaient sur une feuille de papier divisée en quatre zones et sur laquelle étaient posés quelques jetons.

- Votre déduction, docteur Lovato, concernant l’importance des abaques était lumineuse ! lança le professeur Markov. Ce petit joujou est absolument captivant. Avec le groupe de jeunes, nous avons consacré plusieurs heures de travail aux bonds dans l’esprit, comme nous les a enseignés Meng Ti, le contremaître de la Grande Muraille.
- Un abaque permet la représentation de très grandes quantités avec un minimum d’objets, renchérit la directrice du Musée. Mais, par-dessus tout, il permet de concrétiser tous les processus inhérents au calcul, qu’il soit mental ou écrit.
- Calcul écrit ? s’étonna le professeur Markov.
- En fait, là où se situe notre prochaine mission, le calcul et l’écriture étaient encore considérés comme deux activités distinctes et indépendantes. On calculait avec l’abaque, puis on notait le résultat avec la numération en usage. L’idée de calculer tout en écrivant aurait paru parfaitement saugrenue aux comptables chinois ou romains.
- Et à moi, donc ! répliqua l’octogénaire affichant son étonnement.
- Vous serez alors sûrement renversé d’apprendre que la très grande majorité des écoliers d’Occident des XXe et XXIe siècles ne pratiquaient que le calcul écrit et ne connaissaient à peu près rien de son origine sur l’abaque ! glissa l’historienne à son collaborateur de plus en plus médusé.

En préparation de la quatrième mission, le professeur Markov révisait les notes de voyage préparées par le docteur Lovato. Les yeux rivés sur la table-écran, il cherchait à imaginer la vie à Rome, au début de l’Empire. À cause des nombreuses guerres civiles, il n’avait pas été facile au docteur Lovato de trouver une époque garantissant un voyage virtuel sécuritaire.

Auguste (63 av. J.-C. à 14 apr. J.-C.)
Premier empereur romain (de 27 av. J.-C. à 14 apr. J.-C.) et d’abord connu sous le nom d'Octave, il fut surtout un pacificateur, unifiant le monde méditerranéen dans la pax romana. il fut le fondateur de l'Empire romain. Son règne mit fin à la longue série des guerres civiles de la République. Poursuivant l'œuvre de conquête entreprise par Jules César, son oncle, il donna son nom au siècle d'Auguste. Plus célébré pour sa contribution aux arts et aux lettres, Auguste, par son ouverture au monde, permit également un certain épanouissement des mathématiques, notamment du calcul sur abaque, dans l’Empire naissant. 

Calcul
1. SENS PROPRE Nom masculin, du latin calculus, petite pierre. Concrétion pierreuse qui se forme dans les réservoirs glandulaires et les canaux excréteurs. Les plus fréquents sont les calculs biliaires et rénaux.
2. MATHÉMATIQUES Opération, suite d'opérations portant sur des combinaisons de nombres, sur des grandeurs. Calcul numérique, algébrique, intégral, différentiel, matriciel...

Le groupe de jeunes envahissait d’un pas alerte les nacelles de voyage virtuel. De nombreuses surprises les attendaient au cours de cette nouvelle expédition vers le passé. Comme s’ils s’y attendaient, les apprentis-archéologues ne se firent pas prier pour enfiler leurs neuro-casques et lancer la projection virtuelle, en route pour cette prochaine mission.

Mission 4
Rome, la cité d’Auguste
13 après J.-C..
Vignoble de la famille Horatius

Dévalant la colline, les jeunes avaient hâte de visiter la magnifique demeure de pierres aux murs blanchis entourée de nombreux bâtiments au style assorti s’étalant au creux de la vallée. Des colonnes magistrales donnaient à la noble demeure une fière allure. Sur le chemin de terre qui serpentait à travers le vaste domaine, des dizaines de charrettes transportaient des urnes de terre cuite remplies de vin à ras bord. Les odeurs de l’automne méditerranéen enivraient littéralement les apprentis-archéologues, habitués à l’air recyclé de la mégapole, au point qu’ils se roulaient frénétiquement dans l’herbe rousse.

Sous le porche accueillant, un homme à la carrure athlétique les attendait. Amusé par les gamineries des nouveaux arrivants, il s’efforçait de garder un regard impassible.

- Je suis Caius et il me fait plaisir de vous accueillir au nom de mes maîtres. J’ai peu de temps avant votre rendez-vous pour vous faire d’abord visiter le domaine.

La visite dura moins d’une heure et les jeunes pénétrèrent enfin dans la maison des maîtres. Caius les conduisit immédiatement vers une vaste pièce donnant sur la cour. Deux jeunes filles s’y trouvaient déjà. Plongées dans une discussion passionnée, elles ne réalisèrent pas que les visiteurs venaient de faire leur entrée.

- Je me demande bien si tout cela est bien exact ou s’il ne s’agit pas tout simplement d’une légende inventée de toute pièce.
- Voyons, Clodia, l’Énéide est une œuvre historique dont la véracité ne peut être contestée. Virgile est un auteur vénéré par l’Empereur Auguste et, de même, partout dans l’Empire. Et notre famille a toujours respecté et admiré son œuvre.
- Je sais bien, Cornelia, mais notre précepteur nous demande de commenter l’œuvre et je dis simplement que… Oh ! Nos visiteurs sont arrivés.

Les deux jeunes filles âgées d’à peine douze ans se tenaient maintenant debout côte à côte, tournées vers les apprentis-archéologues interloqués. Vêtues de tuniques blanches identiques et pareillement coiffées, les jumelles donnaient la bizarre impression que l’une était le parfait reflet de l’autre, dans un miroir pourtant inexistant.

- Vous vous attendiez peut-être à voir des garçons ? demanda Clodia, visiblement la moins timide des deux. Notre père a tenu à nous donner la meilleure éducation possible, puisque nous sommes ses seules héritières. Marcus Cornelius Rufus, notre précepteur, nous enseigne l’art du calcul, la littérature romaine et la philosophie grecque. Nous étions justement à effectuer notre devoir de littérature.
- Nous sommes habitués à rencontrer des maîtres expérimentés et plutôt austères, balbutia le jeune visiteur qui était entré le premier. Vous êtes de notre âge… Et deux ! Notre surprise est double !

Simultanément, les jumelles pouffèrent de rire. Il faut dire qu’elles étaient passablement habituées à produire ce genre d’effet spectaculaire dû à leur ressemblance quasi parfaite. Après des présentations ponctuées de rires et de cris, les jumelles entraînèrent les apprentis-archéologues vers leur aire de travail. Deux tables jumelles de bois précieux se côtoyaient, les surfaces de travail étant, cependant, légèrement différentes. Sur la première, quatre zones rectangulaires délimitées par des rainures étaient surmontées par ce qui ressemblait à des lettres également incrustées dans la surface de bois. L’autre table présentait elle aussi quatre zones, mais les lettres occupaient une position plus centrale. Plusieurs jetons de bois étaient soigneusement disposés sur chaque table (voir la figure 1).

 

- Des abaques ! réagirent en chœur les jeunes.
- C’est ici que Marcus Cornelius nous enseigne l’art du calcul, expliqua Clodia.
- Notre précepteur insiste pour nous rappeler que l’abaque le plus simple est équivalent à l’abaque rapide, ajouta Cornelia. De vrais jumeaux ! Mais le second demande beaucoup plus d’expertise que celui qui est placé sur la table à votre gauche…

Sans autre préambule, les filles s’assirent et commencèrent la leçon qui prenait par moments des airs de chorégraphie. Cornelia commentait les calculs sur l’abaque simple, suivie de Clodia qui manipulait l’abaque rapide. On aurait dit qu’elles avaient longuement répété tant leurs répliques s’imbriquaient avec fluidité.

(Cornelia) Les urnes que vous avez vues dans les charrettes contiennent chacune un culeus de vin. Notre précepteur nous a dit que cette quantité de vin coûte actuellement 298 sesterces. Voyez ce prix affiché sur mon abaque (figure 1).

(Clodia) Et 298 sesterces sur l’abaque rapide ! Alors qu’arrive-t-il si un client achète deux urnes de vin ?

(Un jeune) Il faut ajouter 298 autres sesterces sur l’abaque : 2 jetons aux centaines, 9 autres aux dizaines et enfin 8 jetons aux unités !

(Cornelia sur un ton moqueur) Notre précepteur dirait que tu vas ruiner notre maison avec tous les jetons qu’il te faudra pour devenir comptable ! Observez plutôt l’astuce : vu que 298 est vraiment très proche de 300, j’ajoute d’abord 300 sesterces (figure 2) avant d’en enlever 2 du total, pour compenser le dépassement (figure 3).

(Clodia) Sur mon abaque, ajouter 300 c’est ajouter un jeton 500 et retirer deux jetons 100 (figure 2). Et moi aussi il me faut retirer 2 sesterces pour obtenir le résultat recherché (figure 3).

 

Prise de vertige numérique, la jeune visiteuse qui se trouvait juste à côté de Cornelia ne put s’empêcher de commenter l’astuce :

- Meng Ti dirait que les bonds dans l’esprit se font ici à la vitesse de la lumière !

Le groupe éclata de rire. Les jumelles se regardèrent du coin de l’œil et, sans trop saisir l’allusion, poursuivirent la leçon.

De sous la table, Cornelia tira une petite boîte de bois contenant une couche d’argile fraîche. Avec un stylet d’ivoire, elle grava les symboles DLXXXXVI.

(Cornelia) Pour ne pas oublier les résultats importants, nous avons également appris à écrire les nombres… Le prix de deux urnes de vin est donc de 596 sesterces. Avant d’utiliser la compensation, nos calculs étaient lents et demandaient beaucoup de jetons.

(Clodia) Et grâce à l’abaque rapide, nous pouvons faire encore mieux ! La compensation nous est également précieuse au moment de soustraire. Imaginons qu’après le paiement des deux urnes de vin, 37 sesterces soient remis au client vu qu’il a choisi de transporter lui-même sa marchandise.

(Cornelia) Sur mon abaque, il s’agit tout simplement de réaliser une autre compensation. Je retire 40 sesterces et j’en remets 3 pour compenser (figure 4).

(Clodia) Sur l’abaque rapide, le procédé est très semblable. Marcus Cornelius nous enseigne à faire ce procédé en utilisant les deux mains à la fois. La main gauche retire 4 jetons de 10 pendant que la droite ajoute les 3 unités pour compenser.
 

Clodia se leva pour se rendre à une autre table, plus imposante, qui devait être celle du précepteur. Elle en rapporta une petite plaque métallique avec des rainures le long desquelles pouvaient coulisser quelques boutons ronds (voir l’illustration de la calculette romaine). Sur un ton respectueux, elle ajouta :

- Et quand nous serons vraiment habiles avec l’abaque rapide, le précepteur nous permettra d’utiliser sa machine à calculer transportable ! Voyez comment il est facile d’y noter le nombre 1 753…

 

La leçon fut interrompue par des cris fusant de la cour. Par les fenêtres, de simples ouvertures sans verre, les apprentis-archéologues virent accourir plusieurs dizaines de jeunes Romains de leur âge. Sorti de nulle part, l’esclave Caius claqua des mains.

- L’heure de la leçon est terminée. Voici venu, pour vous, le moment de découvrir notre façon de faire la fête. Vous n’oublierez pas votre séjour romain de sitôt, parole de Caius !

La nuit venue, les jeunes explorateurs du passé prirent à regret le chemin du retour après avoir joué, mangé et dansé comme jamais ils ne l’avaient fait auparavant.

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Salle des discussions

L’ambiance de l’amphithéâtre brillait d’un calme tout à fait inhabituel. D’une voix enjouée, Caroline Lovato brisa le charme.

- J’ai le sentiment que votre fatigue seule n’explique pas ce silence… Nous avons pensé vous réserver cette petite fête-surprise pour vous remercier de l’ardeur que vous avez mise, à ce jour, dans notre projet-pilote. Ne soyez pas trop tristes à l’idée de quitter vos amis romains du passé. Nous prendrons un peu de temps pour étudier davantage cette merveilleuse période de l’Histoire, quitte à retourner faire une petite visite au vignoble de la famille Horatius.

La bonne humeur coutumière retrouvée, le groupe se concentra sur la liste des questions laissées en suspens et des projets à venir.

1. À quelle époque se situe la visite au vignoble des Horatius ?
2. Où se situe la ville de Rome et que fut l’Empire romain ?
3. Qui était Virgile et que sait-on de l’Énéide ?
4. Que sait-on de l’Empereur Auguste ?
5. Qu’est-ce qu’un précepteur ?
6. À quelle mesure liquide moderne correspond un culeus ?
7. À quoi ressemblait la monnaie romaine, le sesterce, notamment ?
8. (Professeur Markov) Les chiffres romains notés par Cornelia et ceux qui figuraient sur la calculette du précepteur ne sont pas les mêmes que ceux que je connais. Comment les anciens Romains écrivaient-ils leurs chiffres comparativement à d’aujourd’hui ?
9. Quel était le résultat de la soustraction effectuée par les jumelles ?
10. La compensation sur les deux types d’abaques mérite un peu de pratique. Non ?
11. Les chiffres romains antiques et l’abaque rapide sont très proches de la structure monétaire des kilodollars. Pourrait-on traduire les calculs des jumelles en les exécutant parallèlement avec des kilodollars ?
12. En faisant comme si, peut-on associer la compensation au moyen de la monnaie à la compensation que nous venons de voir sur des abaques ?
 

Michel Lyons

P.S. Les kilodollars se présentent sous les coupures suivantes : 1 k$, 5 k$, 10 k$, 50 k$, 100 k$ et 500 k$.