MATHADORE
         Volume 2 Numéro 65 - 2 décembre  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

 
                       La science des cailloux
 

La Presse
Montréal, le 22 mars 1986.

EN COMPÉTITION AVEC L’EUROPE FRANCOPHONE
Les élèves du Québec arrivent au dernier rang en mathématiques

Les élèves québécois de sixième année se sont classés au dernier rang derrière les élèves français, belges et suisses, cet hiver, lors d’examens identiques et conçus ici. (…)

La Presse
Montréal, le 7 décembre 2000.

Les Québécois ont la bosse des maths

Seuls les Singapouriens, les Coréens, les Taiwanais, les Hongkongais et les Japonais ont plus la bosse des maths que les adolescents québécois.  C’est du moins ce que révèlent des tests soumis à des adolescents de 14 ans dans 38 pays. (…)

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Le 4 mai 2222

- Vous avez raison, docteur Lovato, votre revue de presse est porteuse d’éléments de réflexion. Ces deux articles, distants l’un de l’autre d’à peine quinze ans, montrent que le Québec de la fin du XXe siècle a certainement introduit des nouveautés à l’école primaire qui lui ont permis de rehausser l’enseignement du calcul. Avez-vous une idée à ce sujet ? questionna le professeur Markov.

- J’y suis allée par déductions, professeur. L’article de l’année 2000 m’a mise sur la piste… suggéra timidement la chercheuse.

- J’ai beau relire, je ne vois pas ! répliqua l’octogénaire mystifié.

- J’ai d’abord été intriguée par le fait que seuls des pays asiatiques devançaient le Québec en mathématiques. Étonnant, non ? Qu’est-ce qu’une province francophone d’un pays d’Amérique venait donc faire là ? Que peut-elle bien avoir en commun avec l’Asie pour se retrouver en leur compagnie, en tête du peloton ?

- Le communisme !!! s’exclama le professeur Markov, en éclatant de rire.

- Pas du tout ! Une petite recherche au centre de documentation scolaire du Musée m’a permis de dénicher une vieille collection québécoise d’enseignement des mathématiques. J’y ai alors constaté la présence d’un instrument de calcul très répandu en Asie et à peu près ignoré ailleurs en Amérique : l’abaque ! triompha le docteur Lovato.

- La quoi ??? questionna le professeur médusé.

Prêt pour la troisième mission, Samuel Markov scrutait avec attention la table-écran. Une expédition en Asie représentait tout un défi pour lui qui n’avait jamais mis les pieds dans ce coin du monde.

                                                  La Grande Muraille
Les premiers blocs de pierre de la muraille de Chine furent posés vers le Ve siècle av. J.-C.. À la fin du IIIe siècle av. J.-C., Shi Huangdi, le premier empereur de Chine, ordonna de réunir les tronçons existants en une unique muraille enserrant la Chine aux premiers jours de son unification, afin de la protéger contre les invasions des peuplades du Nord. Des centaines de milliers d’hommes laissèrent leur vie pour l’édification de la seule construction humaine visible de la Lune.

                                                           Abaque
MATHÉMATIQUES Dispositif graphique positionnel permettant de représenter des nombres et d’effectuer les calculs arithmétiques. Le boulier compteur et la planche à calcul sont des abaques. L’usage du boulier compteur fut largement répandu en Asie dès le VIIIe siècle jusqu’au XXIe siècle.
 

Dans un tumulte joyeux, les jeunes se dirigeaient vers les nacelles de voyage virtuel. Habitués aux lieux, ils enfilaient rapidement leur neuro-casque et enclenchaient eux-mêmes le lancement de cette nouvelle mission en pianotant lestement sur le tableau de bord tactile.

Mission 3
Cité de Xianyang, Chine des Qin
IIIe siècle av. J.-C.
Chantier de la Grande Muraille

Assis sur un lit de paille et enveloppés de peaux d’ours, les apprentis-archéologues étaient entassés dans une charrette de bois. Le froid qui régnait n’arrivait pas à ralentir les ardeurs du groupe. Les chevaux gravissaient péniblement la côte escarpée qui voilait l’horizon. Le cocher chinois n’arrêtait pas de leur rappeler d’être discrets au moment où le convoi s’approcherait du chantier.

-- L’empereur Shi Huangdi vous a autorisés à rencontrer Meng Ti, le comptable du Grand Chantier. Mais il a insisté pour que la visite soit brève et qu’elle ne dérange en rien le déroulement normal des travaux. De plus, les gardes sont nerveux, ces temps-ci, à cause des nombreuses révoltes des ouvriers qu’il a fallu réprimer au cours des derniers mois.

Le spectacle du chantier maintenant visible leur coupa le souffle. Comme un gigantesque dragon, la muraille s’étendait à perte de vue. L’ouvrage titanesque impliquait la contribution de dizaines de milliers d’ouvriers. Meng Ti accueillit ses jeunes invités avec un sourire si chaleureux que plusieurs en oublièrent les directives du cocher.

- Je suis honoré de votre visite, chers amis. Permettez que je vous fasse visiter les lieux, leur lança-t-il joyeusement.

Encore impressionnés par le gigantesque ouvrage de pierres et de briques qui s’étalait apparemment jusqu’à l’infini, les jeunes accompagnèrent finalement Meng Ti sous sa tente.

- Nous serons plus à l’aise ici pour discuter, murmura leur guide. J’ai été recruté par l’Empereur pour effectuer les nombreux calculs requis pour mener à bien la construction de la muraille. Ma famille est très riche et j’ai eu la chance d’étudier à l’école des marchands de Shaanxi. Dans notre pays, seuls les privilégiés apprennent la science des cailloux.

Le jeune visiteur placé tout près du maître chinois réagit aussitôt.

- La science des cailloux ? Qu’est-ce que les cailloux ont à voir dans votre science ? lança-t-il intrigué.

- Venez, que je vous explique.

Sortant de sous son manteau un sac en peau de chèvre usé à la corde, Meng Ti s’agenouilla. Les jeunes virent alors un étrange dessin cousu à l’intérieur du manteau (voir le Lo Shu) élimé du maître. Cachant prestement le carré magique, symbole des disciples de Confucius de sa vieille école, le maître vit des interrogations naître sur le visage de ses invités. Il détourna volontairement son regard et vida le contenu du sac sur le sol.

- Des cailloux !? réagirent en chœur les jeunes visiteurs.

- Mais ils sont tous pareils ! remarqua la plus jeune du groupe. Nous avons visité Maruhtu, la comptable de la cité d’Élam. Elle aussi utilisait des cailloux. Mais il y en avait de différentes formes : certains représentaient des unités, d’autres des dizaines, d’autres encore des centaines… Comment arriverez-vous à compter avec une cinquantaine de petits cailloux tous semblables ?

Ne sachant pas trop de qui elle voulait parler, Meng Ti esquissa un mince sourire et répliqua d’un ton sibyllin :

- Grâce aux bonds dans l’esprit…

Sans chercher à s’expliquer davantage, le maître s’empara d’un bout de bois et traça deux lignes parallèles sur le sol. Il déplaça ensuite quelques cailloux pour les poser près de cet élémentaire tracé.

- Voici les blocs de pierre que les ouvriers ont transportés sur le chantier aujourd’hui (figure 1). Combien en voyez-vous ?

- Neuf ! lancèrent en chœur les apprentis-archéologues après une courte hésitation.

- Pas du tout ! gronda le maître des cailloux. Il y en a soixante-douze.

Pointant l’un des deux cailloux placés à l’extrême droite, Meng Ti fit un commentaire qui rappela étrangement aux jeunes leur visite au scribe Ahmès :

- Celui-ci me fait penser à un seul bloc de pierre. Mais chacun des sept cailloux qui se trouvent de l’autre côté du trait (le savant marchand parcourait du doigt le trait séparant les deux groupes de cailloux) en vaut plusieurs ! Quand je traverse une ligne de droite à gauche, j’imagine comme un bond, dans mon esprit. Ce bond me rappelle qu’un caillou en vaut tout à coup plusieurs autres… Et vice-versa quand je me déplace de droite à gauche, triompha-t-il en croisant lentement les bras sur sa poitrine.

Les jeunes se regardèrent d’un air entendu. Tout le monde reconnaissait dans les bonds de l’esprit décrit par leur professeur chinois une nouvelle façon de jouer à faire comme si… Dans cette variante asiatique, le même caillou pouvait prendre des valeurs différentes. Suffisait de le changer de position…

Ignorant que ses élèves attentifs faisaient intérieurement des liens entre la présente mission et les deux précédentes, Meng Ti poursuivit sa démonstration.

- Ces soixante-douze blocs viennent s’ajouter aux deux cent cinquante-six autres déjà transportés cette semaine.

Joignant le geste à la parole, le maître déposa d’autres cailloux sur son abaque (figure 2).


- Pour tenir le compte à jour, je commence par mettre un peu d’ordre dans ce fouillis (figure 3). Et le bond dans l’esprit (il avait retiré le lot de cailloux regroupés entre les deux traits pour n’en laisser qu’un seul de l’autre côté du trait situé à gauche) me permet de dire que les ouvriers ont donc transporté trois cent vingt-huit blocs de pierre jusque-là, cette semaine.

La leçon sur la science des cailloux se poursuivit à un rythme accéléré rappelant aux apprentis-archéologues les consignes du cocher. Meng Ti accompagnait ses propos de gestes amplifiés, mais toujours précis.

- Le mois dernier, la fièvre a frappé les 351 ouvriers du chantier. Les voici représentés par des cailloux (figure 5). Malheureusement, 24 d’entre eux sont décédés. J’ai donc dû refaire le compte des hommes disponibles. Les cailloux m’empêchent de soustraire 24. Je vais donc changer ma façon de représenter les 351 ouvriers en faisant un bond dans l’esprit (retirant un caillou de la zone centrale, il le remplaça par un groupe de cailloux logés de l’autre côté du trait situé à droite), comme cela (figure 6). Comme vous voyez, il y a toujours 351 hommes, mais je peux maintenant enlever ceux qui ont péri. 

Quand le cocher revint annoncer la fin de la visite, Meng Ti venait tout juste de compléter son dernier calcul. Utilisant son abaque au fur et à mesure, comme un théâtre imaginaire où se jouait les événements qu’il évoquait, il avait raconté qu’un four pouvait cuire quatre-vingt-six briques à la fois et cela, trois fois par jour (figure 7). La moitié de ces briques seraient ensuite posées par un habile maçon en une heure à peine. Le maître des cailloux avait prononcé sa dernière phrase en relevant la tête.



- Pour savoir ce qu’un maçon peut poser en une heure, il vous faudra faire un bond dans votre esprit… Je vois que la leçon doit prendre fin.

Les adieux furent chaleureusement échangés et les jeunes explorateurs du passé montèrent dans la charrette la tête encore pleine de questions. Le retour au Musée promettait de nombreuses discussions collectives et d’autres manipulations de l’abaque en équipe. 

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Salle des discussions

L’amphithéâtre du Musée bourdonnait comme une ruche menacée par un envahisseur. Comme ils en avaient maintenant pris l’habitude après une expédition dans le passé, les jeunes échangeaient leurs impressions et constataient que les événements vécus différaient souvent d’une équipe à l’autre. L’excitation passée, la voix du docteur Lovato s’éleva doucement. Le moment de composer la liste des questions et des sujets de recherche était maintenant venu.

1. Où se situe la Grande Muraille de Chine ?
2. Que sait-on de la Grande Muraille ?
3. Qui était Confucius ?
4. Qu’est-ce qu’un carré magique ?
5. Que sait-on du Lo Shu et quel est le rôle des couleurs dans la représentation cousue à l’intérieur du manteau du maître ?
6. Pourquoi Meng Ti a-t-il paru embarrassé quand nous avons remarqué le Lo Shu ?
7. Peut-on répertorier les abaques ayant existé ?
8. Combien de cailloux sont impliqués dans un « bond de l’esprit » ?
9. Supposons un nombre exprimé en chiffres égyptiens, comment le traduire sur l’abaque de Meng Ti ?
10. Même question avec les cailloux élamites.
11. Même question avec des kilodollars. 
12. Peut-on refaire les calculs de Meng Ti (les 4 opérations) ?
13. Les bonds de l’esprit font que l’on peut représenter un nombre de plusieurs façons différentes, mais équivalentes. Pouvons-nous imaginer dix façons distinctes de représenter le nombre 381 ?

Le professeur Markov suggéra au groupe de refaire les calculs du maître des cailloux en les exécutant simultanément sur un abaque et avec les kilodollars. 

- Les bonds de l’esprit me rappellent les échanges de monnaie, et j’ai l’impression qu’ils nous guideront dans nos découvertes.

En guise d’abaque, Samuel Markov leur proposa de tracer des lignes sur une grande feuille de papier et d’utiliser quelques jetons en lieu et place des cailloux.
 

Michel Lyons