MATHADORE
         Volume 2 Numéro 55 - 23 septembre  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                          La symbolisation des nombres

        Est-ce que 3 X 4 représente trois paquets de quatre ou, l'inverse, quatre paquets de trois ? Doit-on dire "Trois fois quatre" ou "Trois multiplié par quatre" ? Ces questions nous sont posées fréquemment. Elles résultent d'une mauvaise compréhension du rôle du symbolisme. Essayons autre chose : "En ce moment, Luce, Julie et Marc visitent une exposition." La rédaction de cette phrase oblige-t-elle Julie à se tenir entre Luce et Marc ? Certainement pas! Et puisque le mot "tablette" comporte plus de lettres que le mot "table", est-ce qu'une tablette doit être forcément plus grande ou plus lourde qu'une table ? 

        Les symboles utilisés pour représenter un nombre n'ont aucune influence sur la nature, la forme, la couleur ou encore sur la disposition des objets. Ils ne représentent qu'une seule propriété : une quantité. Observez une douzaine d'oeufs, il y a bien 12 oeufs n'est-ce pas ? Mais ce "12" ne signifie nullement qu'il y a un paquet de dix oeufs et deux autres oeufs. Il n'y a en fait qu'un seul paquet, un paquet de douze oeufs. Et si vous formez deux ensembles de six oeufs chacun, vous pouvez toujours écrire qu'il y a 12 oeufs.

        Et 3 X 4 ? Il s'agit d'une façon de symboliser le nombre douze, rien de plus. Certes, il se peut que cette façon soit celle que nous choisirons pour rappeler une disposition concrète de certains objets: un rectangle formé de trois rangées de quatre tuiles, ce qui n'a rien de différent d'un rectangle formé de quatre rangées de trois tuiles. Mais si nous avons un rectangle formé de deux rangées de six tuiles ou deux ensembles de six objets ou six ensembles de deux objets, nous préférerons écrire 
2 X 6 ou 6 X 2. Il s'agit d'une préférence et non d'une obligation. Rappelons-nous que 3 X 4 et 2 X 6 sont des costumes du nombre douze, rien de plus. Ce sont les circonstances qui nous poussent à choisir une représentation plutôt qu'une autre. En fait, la seule raison valable qui incite à faire un choix plutôt qu'un autre, c'est le désir d'associer plus facilement une représentation symbolique à un arrangement concret. Ainsi, si nous voyons deux ensembles de six objets ou deux rangées de six pupitres, il est facile de reconnaître que     2 X 6 ou encore 6 X 2 représente adéquatement la quantité d'objets qui est devant nous. Dans cet exemple, la représentation "3 X 4" n'est pas fausse, elle est moins commode.

        Les mathématiques se sont données un langage symbolique des plus souples. Cette souplesse est grandement utile en calcul. Ainsi, si nous devons soustraire 38 de 52, la représentation de ce dernier nombre ne sera pas conservée telle quelle. Au lieu de 5 dizaines et 2 unités, nous choisirons 4 dizaines et 12 unités, ce qui rend la soustraction plus facile. En France, au lieu d'effectuer 52 - 38, on fait plutôt  
(5 dizaines et 12 unités) - (4 dizaines et 8 unités), ce qui est aussi plus facile. Mais en fait, en France, ce n'est pas 52 - 38 que l'on effectue, mais bien 62 - 48. C'est exact et cela ne cause aucun problème car  52 - 38 et 62 - 48 sont toutes deux des représentations du nombre 14.

        Donc, le monde des symboles ne constitue pas une photographie du monde concret. En mathématiques, les nombres peuvent être représentés de multiples façons, mais aucune de ces façons n'oblige une disposition quelconque de la quantité d'objets représentée. Qu'une représentation symbolique se rapproche plus qu'une autre d'une disposition concrète est souvent plus commode, rien de plus.

Robert Lyons