MATHADORE
         Volume 1 Numéro 53 - 3 juin  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                             LES PREUVES PAR NEUF

        Il s’agit de preuves peu connues et pourtant fort utiles lorsqu’on veut de vérifier les calculs effectués dans les diverses opérations. Voici cette preuve en addition :

                                              3 4 7      =    14     =  5
                                           + 2 3 5      =    10     =  1
                                              5 8 2      =    15     =  6

          Il faut additionner les 3, 4 et 7 de 347. On obtient 14. Puisque ce nombre comporte plus d’un chiffre, on additionne ses composantes, donc le 1 et le 4 pour obtenir 5. Même procédé avec 235 pour obtenir 1 et avec 582 pour obtenir 6.

          Ensuite, puisque 5 + 1 = 6, la réponse est probablement bonne.

          En soustraction :

                                              4 1 3      =     8     =     8
                                           - 2 1 9      =    12     =    3
                                              1 9 4     =    14     =    5

              Or 8 – 3 = 5 ou 5 + 3 = 8, en pensant que la soustraction est l’inverse de l’addition. Cela servira dans un cas tel :

                                              4 1 6      =    11     =    2
                                           -  2 1 9      =    12     =    3
                                              1 9 7       =    17    =    8

               Or 8 + 3 = 11 et 1 + 1 = 2.

           

          En multiplication :

                                              3 5 6      =     14   =    5
                                          x  2 1 4      =       7   =    7
                                        7 6 1 8 4      =     26   =    8

          Or 5 x 7 = 35 et 3 + 5 = 8. La réponse est probablement bonne.

          La division étant l’inverse de la multiplication, il faudra faire comme en soustraction, c’est-à-dire faire la preuve en considérant la multiplication que cette division représente ( puisque 156 divisé par 12 égale 13 alors 12 X 13 = 156).

           Nous avons écrit plus haut que la réponse « est probablement bonne ». En fait, les preuves par neuf ne tiennent pas compte de la valeur de position et ne détectent pas des erreurs telles :

                                     3 5         =   8
                                 +  1 5         =   6
                                      410        =  5

                 8 + 6 = 14 et 1 + 4 = 5  pourtant 35 + 15 = 50 et non 410.

                                     2 4         =      6
                                 x  1 2         =      3
                                     4 8
                                     2 4         
                                     7 2         =      9

                  6 x 3 = 18 et 1+ 8 = 9 pourtant 24 x 12 = 288 et non 72.

               Ces preuves sont par ailleurs très rationnelles, il ne s’agit pas de simples trucs qui fonctionnent par chance. On les démontre grâce à l’arithmétique modulaire ou « arithmétique de l’horloge ». Sur une horloge, l’aiguille des heures revient à la même position à toutes les douze heures. Ainsi, c’est exactement à la même position que l’aiguille des heures est placée pour indiquer midi et minuit. Il n’y a donc aucune différence entre 0h, 12h et 24 h.

             Imaginons une horloge à neuf positions, le 0, le 9, le 18 et ainsi de suite occupant la même position. Pour représenter un nombre tel 28, il faudrait faire 3 tours et s’arrêter à la position du chiffre 1, mais alors, les 3 tours n’auraient plus d’importance. Le même résultat serait obtenu pour les nombres 1, 10, 18, 27, 36, et ainsi de suite. L’important est donc de trouver le reste après une division du nombre original par neuf et ce reste indique la position sur l’horloge. C’est exactement ce que nous faisons en additionnant les divers éléments d’un nombre jusqu’à obtenir un nombre à un seul chiffre.

              Revenons à 347 + 235 = 582. En situant 347 sur une horloge, l’aiguille s’arrêterait sur la position 5. En faisant tourner l’aiguille à partir du 5 pour avancer de 235 unités, c’est-à-dire de 26 tours et 1 unité, nous nous retrouvons à la position 6. Or la somme de 347 et 235 est 582 et pour représenter 582 sur l’horloge, il faut partir de zéro et avancer de 64 tours et 6 unités ou plus simplement de 6 unités, donc jusqu’à 6. Ce qui importe donc est le reste de la division.

              En multiplication, 356 x 214 = 76 184. Pour représenter 356, il faut faire 39 tours et avancer encore de 5 unités. Pour 214, il faut 23 tours et 7 unités et pour le produit de ces nombres, soit 76 184, il faut 8464 tours et 8 unités. Or, en multipliant les restes 5 et 7, nous obtenons 35 qui peut être représenté par 3 tours et 8 unités.

               Effectuons la multiplication algébrique :

                       39t  + 5           c’est-à-dire   356
                    x 23t  + 7           c’est-à-dire   214
               897t*2 + 388t +35 qui devrait être égale à 76 184 et être associée à la position 8.

               Or t*2 ou t au carré c’est 9 x 9 ou 9 tours complets, ce qui revient à la position originale et ce, même si nous le faisons 897 fois  (897t*2). De même, 388t signifie 388 tours complets, ce qui ne modifie pas la position. Donc, dans 897t*2 + 388t + 35, sauf 35, tous les autres termes ramènent l’aiguille à zéro.

               Même si les preuves par neuf ne détectent pas les erreurs relevant de la valeur de position, elles peuvent être très utiles pour les élèves distraits qui oublient les retenues et les emprunts. Elles détectent aussi les erreurs causées par une connaissance erronée des combinaisons d’addition et des tables de multiplications.

Robert Lyons

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