MATHADORE
         Volume 1 Numéro 48 - 29 avril 2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques


    
              La danse des noeuds
 

Vallée de Nazca,
Amérique du Sud,
Au matin du 12 juillet 1526.
 

" Quipucamayoc i core ! Quipucamayoc i core ! "

L'appel lancé par Felipilla avait aussitôt déclenché une indescriptible frénésie. Des dizaines d'enfants s'étaient instantanément attroupés sur la place publique du village de Quitua et leurs cris hystériques donnaient l'impression qu'une attaque terrifiante allait survenir. Pourtant, c'est la joie qui animait cet incroyable charivari et c'est l'impatience si longtemps refoulée qui était à l'origine de cette explosion de plaisir.

" Les Quipucamayocs arrivent ! "

L'Empire inca du XVIe siècle était extrêmement bien organisé et tout y était minutieusement répertorié. À chaque année, les comptables de l'Empire passaient de villes en villages pour y inventorier les gens et les biens qui s'y trouvaient. Les Quipucamayocs (littéralement Gardiens du quipu) se présentaient donc annuellement transportant leurs précieux quipus, ensembles de cordelettes sur lesquels ils inscrivaient les nombres au moyen de noeuds. Chaque quipu constituait ni plus ni moins un livre de comptes. 

Les Quipucamayocs jouissaient d'une notoriété et d'un statut enviable puisqu'ils étaient directement sous la protection de l'Inca, le vénéré Fils du Soleil. Leur incroyable popularité auprès des enfants découlait du fait qu'il leur fallait recourir à l'aide des jeunes - de plus de huit ans, au grand désespoir des plus petits ! - pour parvenir à dénombrer les bêtes, les biens, les mesures de grains et les plantes aussi bien que les hommes, les femmes, les jeunes et les naissances.

Pendant les jours que durait la visite des Quipucamayocs, les enfants du village devenaient donc leurs assistants, transportant tel objet ou regroupant les lamas dans une étonnante chorégraphie quasi-militaire et sous le contrôle absolu des comptables de l'Inca Atahualpa. Les villageois de Quitua appelaient cette période la danse des noeuds.

Maintenant âgée de 8 ans, Felipilla pouvait donc participer pour une première fois à ce qu'elle avait toujours perçu comme une danse rituelle. Fascinée par tout ce branle-bas, elle avait souvent versé des larmes, incapable de refouler son ardent désir d'être invitée à la fête. Mais le grand jour était enfin arrivé et Felipilla s'était jurée d'être la première à rejoindre les émissaires d'Atahualpa.

C'est à Huaco qu'elle fut confiée et celui-ci entreprit dès son arrivée le dénombrement des lamas, l'animal et le bien le plus précieux de tout l'Empire inca. Le cheptel de Quitua était réparti entre trois grandes familles du village et chaque troupeau devait être séparément dénombré. Le compte avait donc commencé par les lamas appartenant à la famille de Felipilla.

Suivant un protocole toujours rigoureusement respecté par la confrérie des Quipucamayocs, Huaco avait déroulé sur une longue table de bois une grande pièce de laine rectangulaire sur laquelle étaient dessinée une grille quadrillée de cinq cases sur quatre. C'est dans ces carrés qu'il allait déposer ses petites pierres arrondies représentant les bêtes. À côté de la magnifique étoffe se trouvaient soigneusement allongées les fameuses cordelettes servant à la fabrication des quipus. Une fois établi son quartier général, Huaco avait alors ouvert le bal. Pendant trois heures consécutives, les lamas étaient sortis un à un des enclos par les enfants obéissant au doigt et à l'oeil aux ordres du Quipucamayoc. Pour chaque bête, un jeton était déposé par le comptable dans une case et dès que dix jetons se trouvaient réunis dans la même case, il les retirait d'un geste fluide pour n'en laisser qu'un seul dans la case placée juste au-dessus. Quand dix jetons se trouvaient dans la case du dessus, celle-ci était à son tour vidée de son contenu pour ne laisser qu'un jeton dans la case suivante et ainsi de suite.

-- Mais pourquoi enlèves-tu des cailloux alors qu'il y a de plus en plus de lamas ? n'avait pu s'empêcher de lui demander Felipilla, transgressant pour la nième fois la règle stricte voulant qu'il soit interdit d'adresser la parole aux Quipucamayocs pendant leur travail ou de les distraire de quelqu'autre manière.

Huaco n'avait pu s'empêcher de retrousser un sourcil.

-- Décidément, fillette, ta bouche est plus grande que ta prudence. Je pourrais bien te faire couper la langue pour oser me déranger comme tu le fais à répétition...

Mais Huaco était plus amusé qu'agacé par cette petite fille avide de comprendre son art. Constatant la frayeur que sa remarque avait soudain fait naître dans les yeux de Felipilla, il avait laissé échapper un grand éclat de rire.

-- Rassure-toi. Tes questions me rappellent les miennes quand j'avais ton âge, même si j'ai dû payer le prix pour les avoir posées avec trop d'insistance... avait-il ajouté pour ne pas l'effrayer davantage.

Patiemment, il lui avait alors expliqué comment un jeton qui s'élevait d'une case en valait dix logés dans la case inférieure.

-- Un peu comme un collier d'or qui vaut plusieurs colliers de pierres précieuses ? avait spontanément réagi Felipilla.

-- Tout juste ! Ton intelligence est vive, avait constaté Huaco. Plus un jeton s'élève dans la grille et plus le nombre de lamas qu'il représente est grand.

Dès que les cent quarante-deux lamas eurent été un à un dénombrés au moyen des cailloux posés sur l'étoffe de laine, le Quipucamayoc avait saisi une cordelette sur laquelle il avait enregistré le compte en nouant successivement, un noeud, quatre noeuds et deux noeuds. Satisfaits, Huaco, Felipilla et les autres petits assistants avaient aussitôt repris la route sachant que deux autres troupeaux devaient aussi être dénombrés avant le coucher de l'astre divin.

Cour de l'Empereur Charles Quint,
Espagne,
12 juillet 1526.

Quand le Premier maître comptable du roi d'Espagne avait pénétré dans la pièce qui lui servait de lieu de travail, il avait machinalement jeté un regard sur sa table à calculer. Constatant qu'il y avait laissé son dernier compte, il parcouru rapidement des yeux les rainures encore occupées par quelques jetons de bois. L'image des vaisseaux de l'Empereur quadrillant les mers du monde lui revint alors à l'esprit.

-- Cent quarante-deux vaisseaux ! Quelle incroyable puissance que celle déployé par notre flotte impériale!

Vallée de Nazca,
Amérique du Sud,
Au soir du 12 juillet 1526.

Le Royaume du peuple du Soleil était plongé dans la nuit depuis déjà un bon moment quand les enfants de Quitua regagnèrent leur foyer. Malgré la fatigue, la troupe entourant Huago chantait un hymne de reconnaissance qui emplissait la nuit d'une joie irréelle. À quelques mois de la brutale invasion qui allait permettre aux conquérants venus d'Espagne d'écraser l'Empire inca d'Atahualpa, personne sur terre n'avait eu la chance de constater que, dans leur pensée mathématique, ces deux peuples vivant dans des mondes totalement étrangers avaient pourtant atteint un même génial niveau de représentation numérique. Pourtant, même des enfants auraient pu le réaliser. Si on leur en avait donné l'occasion...

Michel Lyons


Questions

1. Quel type de numération est utilisé sur les quipus ? Comment se compare-t-il à celui des tables à calcul européennes du temps de Charles Quint ?

2. Combien de lamas y avait-il dans chacun des trois troupeaux du village de Quitua ?

3. Quel était le rôle de la cordelette verte utilisée par Huago dans son quipu ?
 

Réponses aux questions de Mathadore 46

1. Le système de Wang Chong est une numération de position tandis que celui des comptables mésopotamiens est une numération de forme (qui n'est pas positionnelle). Le système des jonchets comporte 18 chiffres (deux séries de 9 chiffres) et ce nombre suffit pour représenter tout nombre si grand soit-il. Le système mésopotamien compte cinq formes différentes, mais il en faudrait un nombre infini pour pouvoir représenter n'importe quel entier.

2. Les nombres du système des jonchets illustrés à la pièce jointe de Mathadore 46 sont :
a) 639
b) probablement 97 460
c) 876
d) probablement 1890.

Il faut remarquer que la première série de chiffres du système de Wang Chong n'était utilisée que pour les unités, les centaines, les dizaines de mille... autrement dit les puissances paires de la base. Les puissances impaires étaient uniquement occupées par les chiffres de la deuxième série. Cette alternance destinée à bien situer les positions ne parvenait cependant pas à combler l'absence du zéro.

3. Comme l'illustre les incertitudes notées au numéro 2, l'absence d'un symbole marquant une position vide crée une certaine confusion dans le système chinois. Sans le zéro, cette numération était fortement déficiente puisque la lecture des nombres nécessitait un certaine référence au contexte. 

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