MATHADORE
         Volume 1 Numéro 43 - 25 mars  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           

      Nombres pairs, premiers, carrés…
 

Il est fréquent d’entendre des définitions de nombres qui décrivent certaines propriétés de ces nombres ou encore des trucs permettant de les découvrir. Cela est risqué ! Voyons pourquoi.

Les nombres pairs sont-ils des nombres qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 ? Certes, 34 est un nombre pair, mais qu’en est-il de  2,4  ou de  3,0  ou de  –4 ? Et si les nombres sont écrits en lettres, peuvent-ils être pairs tout de même : XVI ou encore seize ou cent ?

Un nombre premier est-il un nombre qui ne se divise que par 1 et par lui-même ? Est-ce vrai pour -5 ? Vu que  3 = 2 x 1,5   et   3 = 3 x 1  le nombre 3 est-il premier ? Et pourquoi le nombre 1 n’est-il pas premier ? Par ailleurs, quels sont les nombres carrés ?

En fait, les nombres ont des propriétés qui n’ont que peu à voir avec les symboles qui les représentent. Ces propriétés ont été reconnues il y a quelques milliers d’années en observant diverses quantités d’objets.

Un certain ensemble d’objets est-il tel que tous ses éléments peuvent être regroupés deux par deux ? Dans ce cas, il contient un nombre pair d’éléments. Dans le cas contraire, son nombre d’éléments est impair.

Avec un certain nombre de tuiles carrées identiques, pouvons-nous recouvrir entièrement et exactement une surface carrée ? Si tel est le cas, nous avons utilisé 1, 4, 9, 16, 25, 36… tuiles. Ces nombres sont dits carrés.

Avec les mêmes tuiles, est-il possible de ne faire qu’un seul dallage rectangulaire
( incluant le carré ) ? Dans ce cas, nous avons un nombre premier de tuiles : 2, 3, 5, 7, 11… Oui, mais avec une tuile ? En fait, le nombre un n’est pas premier. Ceci à cause de considérations qui furent d’abord religieuses et ensuite pour des raisons mathématiques.

Lorsque les mathématiciens Grecs ont attribué des propriétés aux nombres, le nombre un était perçu comme divin. C’était celui qui engendrait tous les autres nombres connus. C’était une représentation de Dieu. Or, on n’attribuait aucune qualité à Dieu puisqu’il est parfait et possède donc toutes les qualités. Pour cette raison, le nombre un était exclus des classifications des nombres.

De nos jours, c’est à cause de la décomposition de nombres en un produit unique de facteurs premiers que le nombre un doit être exclus des nombres premiers. En effet, un nombre tel 28 est égal à 2 x 2 x 7. Il n’est pas possible de décomposer 28 en un produit différent de facteurs premiers, sauf si le nombre un est un nombre premier, donc un facteur premier :
Nous avons alors 28 = 1 x 2 x 2 x 7 
et aussi 28 = 1 x 1 x 2 x 2 x 7
etc.
Les propriétés des nombres entiers rappellent des dispositions concrètes et géométriques de quantités d’objets. Il est artificiel de les associer aux symboles qui représentent les nombres, même si, parfois, certaines correspondances peuvent être observées.
 

Robert Lyons 
 
 

La semaine prochaine : Pilleur de tombe
 

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