MATHADORE
         Volume 1 Numéro 42 - 18 mars 2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           
                    Début de la fin d'un infini...
 
 

Université d'Alexandrie, 
Afrique du Nord,
264 av. J.-C..

On dit d'Archimède qu'il fut le plus grand inventeur que la Grande Grèce ait produit. Signe qui ne trompe pas, même ses contemporains le considéraient comme un génie.  À l'université d'Alexandrie, il avait raffiné ses connaissances en physique et en mathématiques et son esprit produisait inlassablement des raisonnements tous plus géniaux les uns que les autres. Avec son ami Ératosthène, bibliothécaire de l'université et géographe réputé, il aimait discuter de leur vision des mathématiques pour lesquelles ils partageaient la même passion. C'est le cercle qui mobilisait aujourd'hui toute leur attention.

Aussi loin qu'il pouvait se souvenir des années de son enfance passées à Syracuse, il avait toujours été fasciné par les roues et par tout ce qui tourne ou génère le mouvement. Enfant, son royaume était un petit coin d'un hangar délabré où il avait accumulé des roues, des assiettes de terre cuite, un vieux bouclier de bronze volé à un soldat ivre, un tour de potier hors d'usage, des cylindres de diverses tailles et tout un attirail dont lui seul aurait pu expliquer le fonctionnement ou la provenance. Il avait l'habitude d'entendre sa mère s'égosiller :

Tu n'as pas avalé une bouchée de la journée... Laisse tes inventions et rentre à la maison !

Le ton de la discussion avec Ératosthène venait de s'élever d'un cran. Ils étaient bien sûr tombés d'accord sur l'énoncé voulant que la circonférence d'un cercle soit égale à environ trois diamètres et un septième. Dans ce cas, la démonstration d'Archimède était extrêmement rigoureuse, mais c'est une mesure prise alors qu'il était enfant qui lui revenait souvent à l'esprit. Une marque sur le bord d'une roue de bois lui servait de repère. Cette marque, placée en contact avec le sol, lui permettait de mesurer la circonférence grâce au déplacement de la roue jusqu'à ce que cette marque revienne en contact avec le sol (figure 1). Cette expérience cent fois répétée avec toutes les roues de sa collection redonnait, inlassablement, le même rapport : il faut trois diamètres et environ un septième pour obtenir la mesure de la circonférence d'un cercle. Cet « environ un septième » allait d'ailleurs le turlupiner durant toute sa vie...

Le noeud de la discussion concernait plutôt le calcul de l'aire d'un cercle. Pour soutenir ses arguments, Archimède s'était levé et avait entraîné son ami dans la cour. Penché sur un bac à cendres, il avait tracé un cercle et l'avait subdivisé en plusieurs fines pointes triangulaires (figure 2) :

Imagine un nombre de pointes encore plus grand. Les pointes deviennent tellement fines qu'elles sont de minces triangles dont la base est large comme un point. L'aire du cercle est maintenant facile à calculer. En replaçant tous les triangles en alternance, tête en haut, tête en bas (figure 3), le cercle devient un rectangle, avait triomphalement conclu Archimède.

Réagissant à la démonstration de son génial compagnon, le bibliothécaire s'était insurgé :

Mais, si tes triangles sont minces au point d'être de la largeur d'un segment, alors là, mon ami, ce ne sont plus des triangles, mais bien des segments ! Et tu auras beau placer autant de segments côte à côte que tu le voudras, jamais tu n'obtiendras un rectangle.

Déjà, Archimède n'écoutait plus. Son esprit venait de percevoir l'un de ces éclairs qu'il lui arrivait de ressentir au moment d'une importante découverte. Non seulement savait-il qu'il avait raison, mais encore venait-il d'entrevoir un immense champ d'application à sa découverte :

Je te remercie, mon ami. Grâce à tes remarques pertinentes, tu m'as permis de voir clair dans mon esprit. J'ai souvent ressenti une impression d'infini en observant un cercle. Il m'a toujours semblé qu'à l'image du temps, le cercle n'a ni début ni fin. Aujourd'hui, je ressens plus que jamais la présence de cet infini. Quand une pointe de cercle devient aussi mince qu'un segment, elle n'est pas un triangle. Alors j'imagine une pointe de cercle qui est presqu'aussi mince qu'un segment. Et je dis « presque » parce que je me suis arrêté tout juste avant que la pointe devienne segment... Voilà un triangle infiniment mince !

Archimède parlait désormais plus pour lui-même que pour convaincre son vieil ami. Il s'enferma pendant deux jours sans boire ni manger. Il en oublia même le sommeil. Toute la puissance de son intuition venait de lui ouvrir la porte du raisonnement infinitésimal menant au calcul différentiel. Sans les outils mathématiques développés il y a à peine trois ou quatre cents ans, il n'avait évidemment aucune chance de formaliser ni de symboliser sa découverte (il faudra près de deux millénaires pour y parvenir, grâce aux travaux de Newton et de Leibniz). En fait, Archimède était surtout fasciné par les conséquences pratiques de ses découvertes et il se penchait déjà sur le plan d'une autre merveilleuse invention dont il a été le brillant concepteur. Plongé dans un état voisin de la transe, il lui sembla même entendre la voix aiguë de sa mère :

Archimède, laisse ton bric-à-brac et viens prendre ton bain. Ça te changera les idées.

Pas sûr...

Questions

1. En considérant le point de vue d'Archimède, quelle est :
   a) la hauteur du presque-rectangle de la figure 3 ?
   b) sa largeur ?

2. Comment le calcul d'Archimède conduit-il à la formule moderne de l'aire du
cercle ?
 

Réponses à la question de Mathadore 40

La tablette A (voir le document attaché de Mathadore 40) montre que le nombre au verso est la somme des deux nombres du recto.

La tablette B montre que 10 petits cercles valent 1 grand cercle.

La tablette C montre que 10 écus allongés valent 1 petit cercle.

La tablette D montre que 3 grands cercles valent un gros écu et confirme la conclusion de la tablette C.

On déduit que l'écu allongé est la plus petite unité et qu'il représente donc la valeur 1. Le petit cercle représente la dizaine, le grand cercle est la centaine et le gros écu vaut 3 centaines. Le gros écu perforé (non illustré sur les tablettes) valait 3000. Aucun autre chiffre n'était alors en usage. Tels étaient donc les chiffres élamites il y a 5000 ans.
 

Michel Lyons 

 
La semaine prochaine : Nombres premiers, pairs, carrés...
 

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