MATHADORE
         Volume 1 Numéro 36 - 28 janvier 2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

 
                     Comptables, de père en... fille !

Cité-temple sumérienne de Kish,
Mésopotamie,
3320 av. J.-C..
 

La discussion avait été ardue. Les deux hommes n'arrivaient pas à s'entendre et le ton avait plusieurs fois grimpé en crescendo. Dans ces circonstances, les clercs avaient eux aussi tendance à s'énerver. La maison du maître prenait alors des allures de champ de bataille... Heureusement, Maresh, le respecté comptable de la cité de Kish, possédait l'art et la science de la négociation. Toujours calme, il savait trouver les avenues honorables pour les deux parties et son jugement avait fait de lui l'un des personnages les plus influents de la cité. Le Roi-prêtre avait, d'ailleurs, plus d'une fois fait appel à ses judicieux conseils.

Située à proximité de l'emplacement du temple, la maison des comptes voyait ainsi défiler à chaque jour des éleveurs, des propriétaires terriens et des marchands du royaume. Toute une flopée de fonctionnaires assistaient le maître-comptable dans ses fonctions. La perception des impôts accaparait, évidemment, sa large part du personnel. Les nobles et les nantis s'y rendaient également pour comptabiliser leurs échanges commerciaux et pour les enregistrer. Les affaires ayant toujours été les affaires, et la confiance ayant toujours valu moins cher qu'un document authentifié...

L'éleveur de moutons avait donc cédé et le dernier compromis, proposé par Maresh, avait finalement été accepté par les deux parties : l'échange se ferait à douze étoffes de laine contre un sac de vingt silas [1] d'orge. Sitôt l'entente convenue, les mains agiles de Doria s'étaient activées. La fille unique de Maresh s'était emparé des jetons d'argile représentant l'entente : deux petits cônes et une petite boule pour représenter les douze étoffes permettant d'obtenir chaque sac d'orge. En un tourne-main, un pâté d'argile fraîche avait été transformé en une bourse dans laquelle Doria déposait maintenant les jetons choisis, tout en s'assurant que les deux contractants ne rataient aucun de ses gestes. Puis, en quelques manipulations précises, la bourse était devenue une bulle, de la taille de son poing, hermétiquement refermée sur les précieux cailloux numériques. Maresh avait tiré de sa poche un petit cylindre d'ivoire sur lequel était gravée en relief une scène montrant des cerfs et des arbres. Ce sceau-cylindrique représentait sa signature qui permettrait d'authentifier l'accord entre les deux contractants. Maresh l'avait soigneusement appliquée sur la bulle en faisant rouler le sceau sur sa surface encore fraîche, ce qui scellait définitivement l'entente. Le même protocole avait ensuite été répété pour façonner une seconde bulle. Celle-ci, par son contenu, représentait les soixante-trois sacs d'orge commandés par l'éleveur : un gros cône et trois petits cônes avaient donc été enfermés dans la seconde bulle.

Quand Doria avait posé ces actes désormais officiels sur l'étagère spécialement réservée aux échanges commerciaux, Maresh avait à nouveau ressenti la fierté que lui inspirait sa fille adorée. Quand, avec assurance, elle s'était adressée à l'éleveur, il n'avait pu s'empêcher de décocher un sourire aux deux clercs qui assistaient, eux aussi, à la scène plutôt inhabituelle, à cette époque :

Quand la récolte sera venue, et l'orge ensachée, j'irai faire le compte et m'assurer que le marché soit dûment conclu. Entre temps, je ferai le calcul exact pour établir combien d'étoffes de laine vous coûtera votre commande de soixante-trois sacs d'orge.

Maresh se souvenait comment il avait été pénible de convaincre les clercs d'autoriser Doria à l'accompagner dans la maison des comptes, édifice royal jusque-là strictement réservée aux hommes. La tradition sumérienne avait en effet toujours confié les comptes de l'état à des fonctionnaires mâles et la réaction des clercs, en particulier, avait été franchement hostile.

Vous n'y pensez pas, Maître, ça ne s'est jamais vu...

Née alors qu'il approchait l'âge vénérable, Doria était un don du ciel que Maresh et son épouse Dalena n'espéraient plus. Transportés de bonheur, ils avaient vécu la période de grossesse en flottant littéralement sur un nuage. Le sort tragique qui les attendait en avait paru d'autant plus cruel. Dalena n'avait survécu que quelques heures à l'accouchement et Maresh avait juré d'élever lui-même sa fille, s'opposant énergiquement à toutes les pressions sociales l'incitant plutôt à en confier la garde aux servantes du temple. 

Il l'amenait partout et elle se montrait bien plus intéressée par la compagnie des adultes que par celle des enfants de son âge. Au début, elle s'amusait à faire des pâtés d'argile et à y dessiner des soleils et des oiseaux. Puis, elle s'était mise à offrir son aide aux clercs qui façonnaient les jetons d'argile. « Capable ! Capable ! » s'acharnait-elle à leur répéter. Quand Maresh leur avait suggéré de la laisser essayer, les fonctionnaires agacés s'étaient timidement objectés. Quand il lui avait aménagé, lui-même, une table de travail, ils s'étaient ouvertement montrés offusqués...

Doria apprenait à un rythme infernal et elle ne se contentait bientôt plus de façonner des jetons. Elle avait rapidement appris à représenter des nombres avec ces cailloux dont la valeur dépendait de la forme, un peu comme on pourrait le faire de nos jours avec des pièces de monnaie. Elle n'avait pas dix ans qu'elle pouvait déjà faire les opérations courantes sur des nombres respectables. Les clercs eux-mêmes avaient dû se rendre à l'évidence : Doria avait de qui tenir !

Avant que les deux hommes aient quitté les lieux, Doria s'était assise à la table jadis mise par son père à sa disposition. Elle ne s'était jamais résignée à quitter ce lieu qui lui avait permis tant de découvertes en arithmétique concrète. Systématiquement, elle effectuait déjà l'opération rappelant la transaction qui venait d'être conclue : le calcul consistait donc à répéter soixante-trois fois le nombre douze. Vu l'énorme travail que représentait la comptabilité concrète, Doria savait qu'il serait plus simple de poser plutôt douze fois le nombre soixante-trois. Il fallait ensuite regrouper certains cailloux pour les échanger contre d'autres de plus grande valeur. En poursuivant ce processus, elle avait fini par obtenir le nombre d'étoffes de laine que l'éleveur devrait remettre au cultivateur pour obtenir les sacs d'orge qu'il lui avait commandés. Ce nombre se trouvait parfaitement représenté par un gros cône troué, deux gros cônes, trois petites boules et six petits cônes. Ces jetons furent à leur tour enfermés dans une troisième bulle.

 Il ne lui restait plus qu'à attendre la saison des récoltes. Doria briserait alors les trois bulles préalablement authentifiées par les contractants et, patiemment, elle dénombrerait tous les sacs et toutes les étoffes impliquées dans la transaction.

À cette époque, Doria espérait secrètement succéder à son père et devenir, un jour, comptable de la Cité de Kish. Elle était cependant bien loin de se douter qu'elle contribuerait bientôt, dans cette fonction, à l'une des plus grandes inventions de l'histoire de l'humanité. Mais, ça, c'est une autre histoire...
_____________
[1] Un silas vaut environ 0,842 litre.
 

Questions :
1. À partir des informations contenues dans le texte et dans les illustrations, établissez la valeur des quatre types de cailloux d'argile utilisés par la comptable de Kish.

2. Sachant que la grosse boule valait 3600, déduisez la valeur de la grosse boule perforée après avoir découvert la régularité engendrée par les cinq premiers jetons ordonnés.

3. Sauriez-vous représenter le nombre 100 000 avec les jetons sumériens ?
 

Réponses aux questions de Mathadore 34 :

1. « Donnez-moi le nombre de cailloux de la base d'un triangle et je vous en donnerai le nombre total. Il suffit de multiplier le nombre de la base par ce nombre augmenté de un et de diviser le tout par deux. »

Ainsi, pour un triangle de base quatre, on obtient : 4 x 5 / 2 = 10. 
Pour un triangle de base cent, on a : 100 x 101 / 2 = 5050 (la somme des cent premiers entiers naturels).

La formule pour tout nombre triangulaire (le nième) devient : Tn = n x (n + 1) / 2.

2. Pour faire apparaître le nombre impair 1 dans la suite des différences entre deux carrés successifs, il faudrait ajouter le nombre 0 au début de la suite des carrés :

Les carrés : 0, 1, 4, 9, 16, 25...
Les différences : 1, 3, 5, 7, 9...

Les Grecs de l'Antiquité ne l'ont évidemment pas inclus parce que le zéro n'avait toujours pas fait son apparition (il faudra attendre encore un millénaire pour le voir apparaître en tant que nombre). Ajoutons que les Grecs accordaient un statut particulier au nombre 1 qu'ils considéraient comme le géniteur, celui qui crée tous les autres entiers. Pour cette raison, ils ne voyaient pas 1 comme un nombre, du moins pas au même titre que les autres. Alors, imaginez le zéro !

Héritage de cet oubli historique, de nombreux ouvrages, et de non moins nombreux auteurs négligent encore aujourd'hui de donner à zéro la propriété d'être un nombre carré ou même d'être un nombre pair... Il y a pourtant plus de 1500 ans que nous nous sommes résignés à le considérer comme un nombre à part entière. Alors, rendons à zéro ce qui revient à zéro !

Michel Lyons
 

La semaine prochaine : L'algorithme de division.

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