MATHADORE
          Volume 1 Numéro 27 - 13 novembre 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

Comment résoudre un problème ?

On me demande souvent quelles sont les étapes que les élèves doivent réaliser afin de résoudre un problème. Vous avez peut-être entendu parler du volume « Comment poser et résoudre un problème » écrit par Georges Polya en 1965. Celui-ci propose justement une démarche en quatre étapes, à savoir :

I - Comprendre le problème

II - Concevoir un plan

III - Mettre le plan à exécution

IV - Examiner la solution obtenue

Je me souviens d'avoir lu qu'un chercheur avait rencontré plusieurs personnes reconnues très fortes en résolution de problèmes et avait observé qu'elles ne respectaient généralement pas ce plan. En fait, d'un problème à l'autre, leur démarche pouvait varier de façon importante.

Il me semble qu'il existe des problèmes qui sont de natures différentes. Un problème tel : « Quel est le prix de 5 volumes coûtant 12 dollars chacun ? » ne demande certes pas autant de sens pratique que le problème : « Si tu dois nourrir sept personnes pendant une journée avec 50 dollars, quel menu prépareras-tu en considérant les prix du marché Untel ? ».

Et il faut recourir à d'autres talents pour résoudre : « La hauteur totale d'un camion est de trois mètres. Comment pouvons-nous le faire passer sous un pont dont le dessous du tablier est à exactement 2,99 mètres du sol ? ».

Je vous propose une expérience que j'ai eu l'occasion de faire vivre à de nombreux groupes d'enseignants. Vous trouverez plus bas trois problèmes. Chacun peut être résolu d'au moins deux façons très différentes. Une de ces façons, la plus répandue, est longue et présente plus de chances d'erreurs. Une autre est beaucoup plus simple et, pour un de ces problèmes, donne presqu'instantanément la réponse...

Essayez d'abord de résoudre ces problèmes vous-même. Proposez-les ensuite à vos collègues. Si vous les soumettez à des groupes de vingt adultes ou plus, vous trouverez au moins une personne qui proposera une solution simple. Mais ce n'est pas cette personne qui parlera en premier. Souvent, elle n'osera pas donner sa solution. Soyez donc attentif.

Si vous enseignez à des adolescents, proposez-leur ces problèmes et recueillez aussi les solutions et leur fréquence. Je serai heureux de compiler vos résultats et de les communiquer aux lecteurs de Mathadore lors d'une prochaine publication. De toute façon, nous y reviendrons dans Mathadore numéro 31, ce qui vous laisse le temps de faire quelques découvertes.

Problème 1

Cent joueurs ont participé à un tournoi de tennis. Ils n'ont joué que des simples ( à un contre un ). Chaque fois qu'un joueur perdait une partie, il était aussitôt éliminé. Le gagnant continuait contre un autre joueur. Combien a-t-il fallu de parties pour trouver le gagnant du tournoi ?

Problème 2

À l'aide de cubes identiques et encastrables, on construit un gros cube plein. Chaque étage de ce cube est formé de 10 rangs de 10 cubes ( il y a donc 10 étages ). On plonge entièrement ce cube dans la peinture et seuls les cubes situés sur les six faces extérieures du gros cube sont touchés par la peinture. Combien de petits cubes ont ainsi été tachés ?

Problème 3

Combien de diagonales possède un polygone à 20 côtés ?

Je ne veux pas vous taquiner mais, pour chacun de ces problèmes, il existe une solution tellement simple que la réponse peut être trouvée en moins de dix secondes.

Robert Lyons


La semaine prochaine : Moutons comptés, le loup les mange.

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