MATHADORE
         Volume 1 Numéro 15 - 22 mai 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

Les maths thématiques

En enseignement, il y a des tendances qui reviennent de façon régulière. L'intégration des matières en est une des plus tenaces. Or, les mathématiques résistent assez bien à ces approches intégrantes ou thématiques et ceci peut se comprendre.

Pour voir quand et où il est possible d'intégrer les mathématiques aux autres matières, il faut distinguer trois étapes dans leur apprentissage :

a) La première étape, l'inévitable, consiste à développer les invariants qui constituent l'âme et la raison d'être des mathématiques ;

b) L'étape suivante, celle qui est la plus escamotée, consiste à associer les invariants aux outils mathématiques ;

c) Enfin, la dernière étape, omniprésente à l'école, consiste à développer des habiletés dans l'utilisation des outils mathématiques.

Fondamentalement, faire des mathématiques, c'est chercher des propriétés qui caractérisent ce qui nous entoure. J'oserais avancer que faire des mathématiques c'est penser. Penser de façon tantôt très créatrice et tantôt de façon logique. Cette pensée peut s'exprimer dans les diverses langues et dialectes parlés et écrits sur notre planète et aussi, parfois, au moyen de ces instruments plus spécialisés que sont les outils mathématiques.

L'enfant d'un an qui cherche à encastrer diverses formes dans des orifices variés découvre et utilise des invariants portant principalement sur la forme des objets. L'enfant de quatre ans qui partage avec ses amis une poignée de cacahuètes pense de façon numérique. Celui qui court vers l'endroit où une balle lancée se dirige, plutôt que vers l'endroit où elle est actuellement, tient compte à la fois de nombreux éléments mathématiques. Celui qui ordonne ses jouets, celui qui raconte une histoire en respectant l'ordre des événements, celui qui compare deux verres de jus, tous ces enfants font des mathématiques. En fait, ce qu'il y a de difficile avec les mathématiques, ce n'est pas de les intégrer à tout ce que l'on fait, c'est de penser ou de faire quelque chose sans qu'elles interviennent.

Il y a autre chose de difficile, c'est de reconnaître dans toutes nos activités quotidiennes ce qu'elles comportent de mathématique. Je me souviens de cette adolescente qui disait ne rien comprendre aux coordonnées cartésiennes et qui jouait déjà depuis longtemps au Combat naval ( Battleship ). Dans le même ordre d'idées, il y a des adultes qui, bien que sachant que deux négations équivalent à une affirmation, ne peuvent donner un seul exemple courant de cette propriété mathématique selon laquelle le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.

L'intégration des matières a pour objectif de motiver l'élève en lui montrant que ce qu'il apprend est utile. Les mathématiques, en tant que science de la découverte d'invariants, sont non seulement utiles, mais elles sont incontournables parce qu'elles habitent chacune de nos actions. Il n'est donc pas nécessaire d'imaginer des thèmes afin de faire percevoir à l'enfant le rôle des mathématiques, il suffit de retracer celles-ci dans sa vie quotidienne.

Tous les enfants ont pu observer des dallages faits de tuiles carrées. Associer ces dallages à la multiplication, à la division, à la factorisation ou à la racine carrée est très simple et ne nécessite aucune mise en scène ou aucune invention d'un thème spécial. Les enfants savent très bien de quoi il s'agit. À partir de ces associations, qui constituent la deuxième étape du processus d'apprentissage des mathématiques, il est possible de passer à la dernière étape, celle du recours aux outils mathématiques.

Peut-être faut-il dénombrer les tuiles de tel rectangle ou, si celui-ci est trop grand, mesurer ses côtés et ensuite faire le produit des nombres obtenus pour trouver l'aire de ce rectangle. Il y a certes lieu aussi de développer un vocabulaire et des symboles précis qui facilitent la communication. Il n'y a aucun doute que ce qui motivera l'élève à améliorer sa maîtrise des outils mathématiques ce n'est pas d'en percevoir le rôle dans un thème artificiel, mais bien de voir comment ces outils découlent de ses activités quotidiennes.

Bref, le monde réel, dans lequel nous vivons tous, est de nature mathématique. Le rôle des mathématiques consiste à interpréter ce monde afin d'agir sur lui efficacement. En conséquence, il serait plus avantageux de partir de ce que les élèves vivent et connaissent vraiment pour faire des mathématiques plutôt que de thèmes artificiels, dont ils ne perçoivent que rarement la pertinence et l'intérêt. En agissant ainsi, il suffit de quelques minutes pour situer les élèves dans un contexte et pour leur présenter un problème bien concret. L'association des éléments de ce problème avec les symboles, avec la terminologie, avec les techniques et avec les instruments mathématiques est alors naturelle. Par la suite, le développement d'habiletés dans le maniement de ces outils mathématiques peut être motivant.

Le premier secret, en enseignement par résolution de problèmes, consiste à présenter aux élèves des problèmes qui ont du sens pour eux ( rappelez-vous Mathadore 10, « Une salade de fruits mémorable » ). Plus la présentation du thème est longue, plus elle sera difficile à interpréter par l'élève. Je dirais même que les meilleurs problèmes, c'est-à-dire ceux qui favorisent le plus l'apprentissage, sont ceux qui sont perçus sans qu'aucune parole ne soit échangée. Un jouet mal rangé qui tombe d'une étagère, un livre trop éloigné pour que nous puissions l'atteindre de la main, un fruit nouveau caché dans une salade, une balle qui rebondit sur un mur, une ficelle qui se brise à cause du poids de l'objet qu'elle supporte, une feuille de papier trop petite pour emballer un cadeau, un objet qui doit être placé dans une boîte, voilà quelques problèmes susceptibles d'amorcer une recherche d'invariants mathématiques.

Le vrai problème ne consiste donc pas à imaginer des thèmes illustrant le rôle des mathématiques et leurs liens avec la vie quotidienne ou avec les autres matières scolaires; le vrai problème consiste plus simplement à reconnaître ce qu'il y a de mathématique dans tout ce que nous faisons. À bien y penser, voilà ce qu'est l'intégration véritable!

Robert Lyons