MATHADORE
         Volume 1 Numéro 6 - 20 mars 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

Les termes manquants

Parmi les difficultés les plus répandues que manifestent les élèves de six ou de sept ans, on remarque toutes celles qui accompagnent l'apprentissage des termes manquants. Ces difficultés ne sont pourtant pas liées à un concept mathématique difficile et ne peuvent être associées à une difficulté de développement des élèves.

En général les manuels scolaires étendent les apprentissages des égalités élémentaires sur deux ans. On y respecte l'ordre qui suit, en s'assurant autant que possible que les égalités d'une série soient réussies avant de passer à la série suivante.

a) type a + b = x, exemple : 3 + 4 = ___

b) type a - b = x, exemple : 6 - 2 = ___

c) types a + x = b et x + a = b, exemples 3 + ___ = 5 et ___ + 2 = 6

d) type a - x = b, exemple : 5 - ___ = 3

e) type x - a = b, exemple ___ - 3 = 4 et ___ - 4 = 3

Et voici, sous la forme d'un dialogue, les théories que des élèves élaborent pour résoudre ces problèmes. Notons au départ que la première difficulté surgit avec les égalités du type (b), des élèves notant 6 - 2 = 8. Il suffit de leur faire remarquer que le signe d'opération indique une soustraction pour que la difficulté s'estompe rapidement. Par la suite, ce sera plus difficile.

Erreurs : 3 + ___ = 5 donne 3 + 8 = 5 et ___ + 2 = 6 donne 8 + 2 = 6

Prof. : Comment fais-tu pour trouver ces réponses ?

Élève : Il faut observer le signe: un +, on additionne et on met la réponse sur la ligne et un -, on soustrait et on met la réponse sur la ligne.

Remarque : Cette loi a permis aux élèves de résoudre les égalités de types (a) et (b) et ces succès les conduisent à l'erreur exposée ci-haut lorsqu'ils abordent les égalités de type c en croyant que leur loi s'applique encore.

Lorsque les égalités de type (c) sont réussies, grâce à une nouvelle loi inventée par plusieurs élèves, on remarque souvent l'erreur suivante dès qu'on aborde les égalités de type (d).

Erreurs : 5 - ___ = 3 donne 5 - 8 = 3

Prof. : Comment fais-tu pour trouver cette réponse ?

Élève : Avant, je regardais le signe, un + voulait dire d'additionner ( type a ) et un - demandait de soustraire ( type b ). Mais depuis quelques temps, les + veulent dire soustraire ( type (c) où pour résoudre 3 + ___ = 5, l'élève fait 5 - 3 = 2 ) alors, maintenant, peut-être que les - sont des + déguisés !

Pour un élève de six ou de sept ans, il y a des raisons d'être légèrement confus. Après quelques mois de pratique, il croyait probablement avoir enfin compris ce qui se cachait derrière les signes + et -. Mais voilà que les égalités de type c vont l'ébranler et, malgré les succès qu'il finira par obtenir avec ces égalités, un doute demeurera et se manifestera lors de l'apprentissage des égalités de type d.

Mais, une fois de plus, il finira par résoudre ces nouveaux problèmes. Il le fera en élaborant une nouvelle loi qui lui permet de résoudre tous les cas déjà vus. Il est remarquable que des élèves réussissent une telle élaboration seuls et habituellement à l'insu des adultes qui leur enseignent. Il est aussi remarquable de constater que la nouvelle loi englobe tous les cas déjà appris et permet de remplacer les lois précédentes trop particulières. Malheureusement, cette nouvelle loi va conduire à de nouvelles difficultés au moment d'aborder les égalités de type e.

Erreurs : ___ - 3 = 4 donne 1 - 3 = 4 et ___ - 4 = 3 donne 1 - 4 = 3

Prof. : Comment fais-tu pour trouver ces réponses ?

Élève : Eh bien, il faut observer où va la réponse. Si elle est à la droite du signe d'égalité, on fait ce que le signe demande, un + on additionne et un - on soustrait ( types a et b ). Mais si la réponse va à gauche du signe d'égalité, il faut toujours soustraire (types c et d ).

Après avoir réussi à quelques reprises à élaborer des lois englobant tous les cas connus à ce moment, après, quelques mois plus tard, avoir été piégés à cause de ces lois, n'est-il pas normal que de nombreux élèves se mettent à douter de leurs capacités et mettent en veilleuse de merveilleuses facultés ?

Les élèves vont éventuellement réussir le dernier type d'égalités non pas parce qu'ils comprennent, mais parce qu'ils savent que 1 - 3 = 4 est inexact. Mais si on leur demande de compléter ___ - 345 = 512, ils avouent ne pas savoir s'il faut additionner ou soustraire.

Un enseignement par objectifs micro-gradués et coupé de liens avec des situations concrètes a donc conduit plusieurs élèves à construire des lois qui leur permettaient de survivre au moins à court terme.

On peut faire mieux. Je serais heureux de vous faire parvenir une unité d'enseignement qui s'adresse aux élèves de 6 ou 7 ans et qui règle le problème des termes manquants. Expédiez-moi un courriel avec la mention « Banquiers » comme objet. C'est gratuit !

Robert Lyons