MATHADORE
    Volume 10 Numéro 324 –  7 février 2010
       
                                      Sur l’efficacité.

Le rôle de la répétition et de l’entraînement en vue de développer aisance et efficacité est bien connu. Ces activités permettent de créer des modèles qui seront sélectionnés et exécutés de plus en plus rapidement et efficacement.

À plusieurs reprises, nous avons pu observer de jeunes enfants qui s’initiaient au jeu Logix. Ce jeu consiste à positionner dans une grille 3 × 3 neuf pièces qui sont des carrés, des triangles ou des cercles chacune étant de couleur bleue, jaune ou rouge. Habituellement, les débutants réussissent les cinq à dix premières fiches avant de frapper un mur. Souvent, ils laissent alors le jeu de côté avant d’y revenir en recommençant avec la première fiche. On observe alors qu’ils vont plus loin que lors de leur premier essai. Ils utiliseront régulièrement cette stratégie de retour en arrière sans nécessairement recommencer au début réussissant ainsi à aller de plus en plus loin à chaque nouvel essai.

Il est facile d’observer que ce qui les aide à progresser est l’assimilation de plus en plus grande des consignes qui sont progressivement introduites dans le jeu. Tout se passe comme s’il devenait impossible de progresser lorsque plus que deux ou trois consignes nouvelles devaient être gérées. Par contre, le nombre de consignes déjà assimilées peut être considérable. Lorsqu’un élève réussit avec aisance l’ensemble des fiches du jeu Logix, il peut se mesurer à Logix Signature II qui introduit de nouvelles consignes. Il est facile d’observer alors que ce que les joueurs ont déjà assimilé est réutilisé automatiquement. Cependant, cela ne semble nullement les aider dans l’apprentissage des nouvelles consignes.

Imaginez un conducteur de taxi qui travaille dans une ville dont les rues sont disposées de façon semblable à un plan cartésien. Si, par chance, les rues sont identifiées nord-sud ou est-ouest ou si, dans un sens elles sont dites rues et, dans l’autre, avenues, le travail de ce conducteur est largement facilité. Et c’est encore plus facile si les rues et avenues sont numérotées. Si c’est le cas, il se fera rapidement un modèle mental de sa ville et pourra s’orienter sans difficultés vers une adresse donnée.

Mais si ce conducteur doit aller exercer son métier dans une autre ville où les rues sont encore disposées selon un plan cartésien et que, cette fois,  rien dans les noms de rues n’indique leur sens ou leur position par rapport aux autres rues alors seule l’organisation cartésienne des rues peut être transférée. Pour le reste, il doit tout reprendre à zéro. Et, s’il déménage dans une autre ville où les rues sont pratiquement toujours en forme d’arc de cercle et si elles sont très courtes, alors tout est à refaire, rien n’étant transférable.

Prenons un autre exemple, l’apprentissage du calcul mental en multiplication. D’abord, il y a les fameuses tables de base à mémoriser. Ce n’est pas nécessairement facile, mais avec une bonne mémoire et quelques efforts, nous y parvenons presque tous.

Passons à une autre étape, la multiplication mentale de nombres à deux chiffres. Cette fois, la mémorisation pure est hors de portée de la majorité des gens. Ce qui a été mémorisé au début va toujours servir, mais la façon de l’apprendre, soit par mémoire pure, ne peut être transférée à ce qui est désiré maintenant. D’ailleurs, pour la majorité des gens, la multiplication mentale au-delà de 10 X 10 ou de 12 X 12, n’est même pas envisagée.

Il faudra de nouvelles stratégies. En guise d’exemples :
1. Lorsqu’il faut multiplier par lui-même un nombre ayant 5 à la position des unités, il suffit d’abord de multiplier le chiffre des dizaines par le suivant (pour 15 × 15 :   
1 × 2 = 2; pour 25 × 25 : 2 × 3 = 6…) et de faire suivre ce nombre par 25.
Donc : 15 × 15 conduit à 1 × 2 = 2, ensuite à 225;
35 × 35 devient 3 × 4 = 12 ensuite 1225;
75 × 75 devient 7 × 8 = 56 et ensuite 5625.
C’est une technique très utile, mais elle est inutilisable si, à la position des unités, le chiffre est  autre que 5 et si le nombre n’est pas  multiplié par lui-même.
2. Voici une autre technique, celle de la différence de carrés.
Prenons 8 × 10. 
La moyenne entre 8 et 10 est 9 que nous élevons au carré : 9 × 9 = 81.
L’écart entre la moyenne et 8 ou 10 est 1 qui sera aussi élevé au carré : 1 × 1 = 1.
Il reste à soustraire le petit carré du grand : 
81 – 1 = 80  donc 8 × 10 = 80.
Essayons avec 36 × 44. La moyenne est 40, donc 40 × 40 = 1600. L’écart entre 40 et 36 ou 44 est 4, donc 4 × 4 = 16.
Enfin 1600 – 16 = 1584 donc 36 × 44 = 1584.

Cette dernière technique est fort utile lorsque la moyenne est un multiple de dix. Si ce n’est pas le cas, cela s’avère plus difficile. Il existe de nombreuses autres techniques qui permettent de simplifier diverses multiplications de nombres à deux chiffres. Elles n’ont toutefois pas nécessairement de liens avec les deux précédentes.

Ce qui vient d’être décrit peut être programmé sous la forme d’une séquence d’apprentissages et il est facile d’évaluer la progression des élèves dans ces apprentissages. Malheureusement tous les apprentissages ne se programment pas aussi facilement. Dans certains domaines il ne semble pas possible de définir une séquence d’apprentissages et, partant, d’évaluer la progression des élèves. C’est ce qui se passe en apprentissage de la créativité et de la résolution de problèmes.

Robert Lyons